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1、初二数学梯形概念及等腰梯形的特征及识别华东师大版【同步教育信息】一. 本周教学内容： 梯形概念及等腰梯形的特征及识别二. 重点： 把梯形问题转化成平行四边形和三角形问题来解决的转化思想及方法。三. 难点：转化方法。四. 知识精讲及例题分析（一）知识梳理。 1. 梯形的定义，只有一组对边平行的四边形叫梯形。 2. 梯形的表示：梯形ABCD，ADBC。 3. 特殊的梯形： 等腰梯形：两腰相等的梯形。 直角梯形：有一个角是直角的梯形。 等腰梯形、直角梯形、梯形的关系。如下图。 4. 等腰梯形的特征 等腰梯形两腰相等，两底平行。 等腰梯形在同一底上的两个内角相等。 等腰梯形的两条对角线相等。 等腰梯形
2、是轴对称图形，对称轴为底的垂直平分线。 5. 等腰梯形的识别方法。 两腰相等的梯形是等腰梯形。 同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。 对角线相等的梯形是等腰梯形。 6. 梯形中常用的辅助线。 平移一腰： 作高： 延长两腰： 平移对角线：【典型例题】 例1. 已知：等腰梯形ABCD，ADBC，AD=3，AB=4，BC=7，求：B的度数。 分析：将等腰梯形分割成一个平行四边形和一个三角形，然后通过平行四边形和三角形的知识来解决问题。 解：过点A作AECD，交BC于E。 又ADBC 四边形AECD是平行四边形。 EC=AD=3，AE=DC 等腰梯形ABCD，ADBC， DC=AB AE=AB=4 又
3、BE=BCEC=73=4 AB=AE=BE 即ABE为等边三角形 B=60 例2. 已知等腰梯形的高为3cm，它的上底为3cm，一个底角为45，则这个梯形的下底长为_cm。 分析：作梯形的高将梯形转化为直角三角形和矩形。从而解决问题。 解得：9cm 例3. 在梯形ABCD中，ADBC，AD=5，BC=9，B=80，C=50，求AB的长。 分析：延长梯形的两腰，将梯形问题转化到两个三角形中去解决。 解法一：延长BA、CD交于点E。 ADBC，ADE=C=50 在ECB中，B=80，C=50 E=180BC=50 E=ADE AD=AE=5 又E=C BE=BC=9 AB=BEAE=95=4 答：
4、AB的长为4。 注：解法二自己试证一下。此题还有其它作法 例4. 已知：等腰梯形ABCD中，ADBC，AB=DC，对角线ACBD，AD=4，BC=10，求梯形面积。 分析：本例是平移对角线将梯形转化为平行四边形和三角形来解决问题。 解：过A作AEBD交CB的延长线于E，作AFBC于F。 ADBE，AEBD 四边形AEBD是平行四边形。 AE=BD，AD=BE=4 又四边形ABCD是等腰梯形， AC=BD AE=AC ACBD，BOC=90 又BDAE，EAC=90 AEC为等腰直角三角形。 AFEC F为EC中点。 答：梯形面积为49。 例5. 在梯形ABCD中，ADBC，AM=DM，BN=C
5、N，且B+C=90 求证： 分析：通过平移两腰将分散的条件转移到PMQ中，使问题得到解决。 证明：过M分别作AB、CD的平行线交BC于P、Q， ADBC 四边形ABPM和四边形CDMQ是平行四边形 AM=BP，DM=CQ，MPN=B，MQN=C BCAD=PQ AM=DM，BN=CN PN=QN B+C=90 PMQ=90 MN 例6. 在梯形ABCD中，ADBC，AB=CD，延长CB至E使EB=AD，连结AE。 求证：AE=CA 分析：要证AE=CA，只须证AE=BD， 从而只须证四边形AEBD是平行四边形即可 证明：连结BD 四边形ABCD是等腰梯形 AC=BD ADBC ADBE 又AD
6、=BE 四边形AEBD是平行四边形 AE=BD AE=AC 例7. 梯形ABCD中，ADBC，B=90，AB=14cm，AD=18cm，BC=21cm，点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度移动，点Q从点C开始沿CB向点B以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、C同时出发，设移动时间为t。 （1）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形。 （2）当t为何值时，四边形PDCQ是等腰梯形。 分析：本题是一道几何运动的计算题，在解题中，只要抓住平行四边形的性质和等腰梯形的性质，将几何问题转化为代数中的方程去解即可。 解：（1）因为ADBC，当DP=CQ时，四边形PDCQ是平行四边形， 即
7、 t=6 答：当t=6s时，四边形PDCQ是平行四边形。 （2）设P、Q运动到如图位置，梯形PDCQ是等腰梯形， 分别过P、Q作高PN、DM，此时NQ=MC=BCAD=3cm， 即 答：当t=8s时，四边形PDCQ是等腰梯形。 例8. 若以14cm，9cm为底，13cm，7cm为腰画梯形，这个梯形能不能画出来，为什么？ 分析：此题实质是考察梯形四边间的关系问题，梯形四边关系为： 梯形的两底之差（下底上底）大于两腰差的绝对值小于两腰和。 解：两底的差为149=5 两腰的差为137=6 两底差小于两腰差，不符合梯形四边之间关系 这个梯形不能画出来。 例9. 等分梯形面积（2003年福建南平中考试题
8、） 图1是一个上底等于2，下底等于4的等腰梯形纸片，裁成面积相等的三块的一种方案，请再用三种不同方法进行裁剪。（必要时标明相关数量或辅助线） 解：【模拟试题】 1. 下列说法正确的是（ ） A. 梯形的两条对角线相等 B. 有两个内角相等的梯形是等腰梯形 C. 有两条边相等的梯形是等腰梯形 D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是等腰梯形 2. 四边形四个内角度数之比为2：2：1：3，则此四边形是（ ） A. 任意四边形B. 任意梯形 C. 等腰梯形D. 直角梯形 3. 直角梯形的一腰是另一腰的2倍，则此梯形的最大角与最小角的度数之比是（ ） A. 2：1B. 3：1C. 4：1D.
9、 5：1 4. 等腰梯形的两腰分别与两对角线互相垂直，一底边与一腰相等，那么它的四个内角的度数分别是（ ） A. 50，50，130，130 B. 60，60，120，120 C. 45，45，135，135 D. 70，70，110，110 5. 在周长为40cm的梯形ABCD中，ADBC，AEDC交BC于E，AD=5cm，则ABE的周长为（ ） A. 40cmB. 30cmC. 20cmD. 15cm 6. 梯形的上底长为6cm，过上底一个顶点引一腰的平行线，交下底所得的三角形的周长是19cm，那么这个梯形的周长为（ ） A. 31cmB. 25cmC. 19cmD. 28cm 7. 如图
10、，在直角梯形ABCD中，ABDC，B=C=90，AD=20，BC=10，则A和D分别是（ ） A. 30，150B. 45，135 C. 120，60D. 150，30 8. 等腰梯形两底之差等于一腰长，则腰与上底的夹角为（ ） A. 60B. 120C. 135D. 150 9. 等腰梯形的上底与高相等，下底是上底的3倍，则下底的一个底角为_。 10. 等腰梯形的一个锐角等于60，它的上底是3cm，腰长是4cm，则下底是_。 11. 一个梯形的面积是24，它的上、下底的长分别是5和7，则梯形的高是_。 12. 如图，在梯形ABCD中，ADBC，AD=AB=DC，BDCD，则C=_。 13. 如图，等腰梯形ABCD中，ADBC，AD=AB=，若梯形的周长是30cm，则AD=_cm，B=_。 14. 若等腰梯形的周长是30cm，ADBC，BC=2AD，BD平分ABC，BDDC，则AD=_。【试题答案】 1. D2. D3. D4. B 5. B6. A7. D8. B 9. 4510. 7cm 11. 412. 60 13. 6cm，6014. 6cm
