《人教A版高中数学（必修第二册）同步讲义第39讲 拓展一：立体几何中空间角的问题和点到平面距离问题（教师版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教A版高中数学（必修第二册）同步讲义第39讲 拓展一：立体几何中空间角的问题和点到平面距离问题（教师版）（61页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第16讲 拓展一：立体几何中空间角的问题和点到平面距离问题题型01点到平面距离（定值）【典例1】（2024上辽宁辽阳高三统考期末）在平面四边形中，为正三角形，如图1，将四边形沿AC折起，得到如图2所示的四面体，若四面体外接球的球心为O，当四面体的体积最大时，点O到平面ABD的距离为（）ABCD【答案】C【详解】由题意可知当平面平面时四面体的体积最大时，因为为正三角形，所以，则，当平面平面时，取线段中点，则点为直角三角形的外心，连接，则易知平面，所以四面体外接球球心在上，因为为正三角形，所以四面体外接球球心即为的中心，则，设点到面的距离为，点到面的距离为，由得，因为边长为2，所以，中，所以，则，
2、所以点到面的距离为.故选：C【典例2】（2024上上海高二上海师大附中校考期末）在直三棱柱中，则点到平面的距离为 .【答案】【详解】因为，所以，又三棱柱为直棱柱，所以平面，又平面，所以平面平面，又平面平面 平面，所以平面，易得,在中由余弦定理：得，故，于是，由棱柱性质得，平面，平面，所以平面，点到平面的距离即点到平面的距离，设为d因为，所以,解得故答案为： 【典例3】（2022重庆统考模拟预测）在三棱锥中，平面ABC，是边长为2的正三角形，Q为三棱锥外接球球面上一动点，则点Q到平面PAB的距离的最大值为 【答案】【详解】令三棱锥外接球球心为O，正所在平面截球面所得小圆圆心为，连接，如图，则平面
3、ABC，而正边长为2，即有，因平面ABC，则三棱锥外接球球心为O在过线段PA中点，且垂直于线段PA的平面内，显然过线段PA中点垂直于线段PA的平面与平面ABC平行，则，于是得球O的半径，取PB中点，AB中点D，连接，因是直角三角形，则是平面PAB截球O所得截面小圆圆心，因此，平面PAB，而，则平面ABC，必有，于是得四边形是平行四边形，由球面的性质知，点Q是经过点的球面直径端点且球心在点与Q之间时，点Q到平面PAB的距离最大，此最大距离为，所以点Q到平面PAB的距离的最大值为.【典例4】（2024全国模拟预测）如图，在三棱锥中，平面平面，分别为棱的中点(1)证明：平面；(2)求点到平面的距离【
4、答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）平面平面，平面平面，平面平面，平面，又平面，平面，又分别为棱的中点，平面（2）分别为棱的中点，又由第（1）问得平面，平面，平面，平面，设点到平面的距离为，则，解得，所以点到平面的距离为【变式1】（2024上上海高二上海南汇中学校考期末）如图，已知长方体中，棱，为中点，则点到平面的距离是 .【答案】/【详解】设点到平面的距离为，因为，为中点，所以，所以为等边三角形，所以，因为，所以，所以，解得，故答案为：.【变式2】（2024全国模拟预测）如图1，已知直角梯形中，M为CF的中点，将沿DM折起到的位置，使平面平面，N，Q，H，P分别为AF，DM，DE，AE
5、的中点，如图2所示(1)求证：平面平面；(2)求点D到平面的距离【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）Q，H分别是DM，DE的中点，平面，平面，平面如图，连接PN，N，P分别是AF，AE的中点，易知，Q是DM的中点，四边形QMNP为平行四边形，不在平面，平面，平面，平面PQH，平面平面PQH（2）如图，取ME的中点O，连接OQ，OH，PO，PD，易知四边形DEFM是边长为2的正方形，平面平面DEFM，平面平面，平面DEFM，P是AE的中点，平面DEFMQ，H分别为DM，DE的中点，在中，在中，是边长为的正三角形，设点D到平面PQH的距离为d，点D到平面PQH的距离为【变式3】（2024全
6、国模拟预测）已知四棱锥如图所示，平面平面，四边形为菱形，为等边三角形，直线与平面所成角的正切值为1(1)求证：；(2)若点是线段AD上靠近的四等分点，求点到平面的距离【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）如图，过点作于点，连接.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.所以即为直线与平面所成的角.因为又四边形是菱形，是等边三角形，所以，所以，故为的中点.因为平面，所以平面，又平面，所以.（2）由题意可得：.连接，由（1）得：，平面平面，平面平面，平面，所以平面.因为平面，所以.在中，所以，故，在中，所以.所以，.设点到平面的距离为，则，得.所以点到平面的距离为.题型02点到平面距离（最值或
7、范围）【典例1】（2024上上海黄浦高二统考期末）已知为空间五个点，若两两垂直，且，则点到平面的距离的最大值为 【答案】【详解】由于，故点在以为球心，半径为的球面上，设到平面的距离为，则由等体积法可得,而,所以,故，因此点到平面的距离的最大值为，故答案为： 【典例2】（2021下上海松江高二上海市松江二中校考阶段练习）如图，已知四面体ABCD中，DA=DB=a，DC=b，.（1）用a，b表示四面体ABCD的体积；（2）若a=2b，求二面角D-AB-C的大小（用反三角函数表示）；（3）若a+b=1，求点D到平面ABC距离的最大值.【答案】（1）；（2）；（3）【详解】解：（1）该四面体可看作以为
8、底面，以为高的三棱锥，DA=DB=a，所以为等边三角形，所以.（2）取的中点，连接 则，因为，且DA=DB，所以，则，所以，则为二面角D-AB-C 的平面角.因为，即，所以平面，即，又，所以，所以，即二面角D-AB-C的大小为.（3）三棱锥可看作以为底面，以为高的三棱锥，也可看作以为底面，为顶点的三棱锥，设到底面的距离为，则有. 由（2）可知，为等腰三角形，则；即 ，解得：，令 当且仅当时等号成立，所以【变式1】（2020山东统考模拟预测）如图，直线平面，垂足为，三棱锥的底面边长和侧棱长都为4，在平面内，是直线上的动点，则点到平面的距离为 ，点到直线的距离的最大值为 .【答案】 【详解】边长为
9、，则中线长为，点到平面的距离为，点是以为直径的球面上的点，所以到直线的距离为以为直径的球面上的点到的距离，最大距离为分别过和的两个平行平面间距离加半径.又三棱锥的底面边长和侧棱长都为4，以下求过和的两个平行平面间距离，分别取中点，连，则，同理，分别过做，直线确定平面，直线确定平面，则，同理，为所求，所以到直线最大距离为.故答案为:；.【变式2】（2022下福建泉州高一福建省晋江市养正中学校联考期末）如图，两个正方形，边长为2，.将绕旋转一周，则在旋转过程中，与平面的距离最大值为 .【答案】【详解】绕旋转一周得到的几何体是圆锥，故点的轨迹是圆.过作平面平面，交平面于.的轨迹在平面内.画出图像如下
10、图所示，根据图像作法可知，当位于圆心的正下方点位置时，到平面 的距离最大.在平面内，过作，交于.在中，,.所以.其中，所以可化为.故答案为：题型03求异面直线所成角（定值）【典例1】（2024上辽宁沈阳高二校联考期末）如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱中，则异面直线与所成角的余弦值为（）ABCD【答案】A【详解】连接，因为，所以四边形是平行四边形，所以，所以异面直线与所成角为或其补角，又因为且四棱柱为底面是正方形的直四棱柱，所以，所以，故选：A.【典例2】（2024全国模拟预测）如图,在圆锥中,为圆上的点,且,若为的中点,为的中点,则异面直线与所成角的余弦值为（）ABCD【答案】A【
11、详解】如图,取的中点,取的中点,连接则,且,则就是异面直线与所成的角或其补角易知平面,所以平面,所以.因为,所以,所以由勾股定理得,又,所以在中,由余弦定理得,故异面直线与所成角的余弦值为故选:A【典例3】（2024全国模拟预测）如图，在圆锥中，是底面圆的直径，点为上靠近点的三等分点，点为上靠近点A的四等分点，则异面直线与所成角的余弦值为 【答案】【详解】如图，取的中点，连接，则，则，可知或其补角为异面直线与所成的角因为，即为等边三角形，不妨取，连接，则，过点作于点，则，可得，连接，则，过点作，垂足为，连接，则，所以，则，又，所以，故异面直线与所成角的余弦值为故答案为：.【变式1】（2024上
12、内蒙古呼和浩特高二统考期末）在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）ABCD【答案】D【详解】设正方体棱长为2，连接，如图，因为，所以（或其补角）即为异面直线与所成的角，在直角三角形中，故选：D【变式2】（2024全国模拟预测）如图，在长方体中，点在矩形内运动（包括边界），M，N分别为，的中点，若平面，当取得最小值时，异面直线与所成角的余弦值为（）ABCD【答案】D【详解】如图，取的中点的中点，连接，所以,又M，N分别为，的中点，所以，故，平面,所以平面，又,所以四边形为平行四边形，故，平面,平面，又，平面，故平面平面，所以当平面时，平面，则点在线段上，当时，取得最小值，易知，则
13、此时为线段的中点（等腰三角形中三线合一）由可得，所以为异面直线与所成的角，且由平面几何知识可知，所以异面直线与所成角的余弦值为，故选：D【变式3】（2024上上海徐汇高二统考期末）如图，在正四棱柱中，底面是正方形，且，经过顶点A和各作一个平面与平面平行，前者与平面交于，后者与平面交于，则异面直线与所成角的余弦值为 .【答案】【详解】设平面平面，因为平面，所以，又因为平面平面，且平面平面，所以，因为平面平面，且平面平面，同理可证，异面直线与所成的角即所成的在正四棱柱中，底面是正方形，且，所以异面直线与所成的角的余弦值为.故答案为：.题型04异面直线所成角（最值或范围）【典例1】（2023山东模拟预测）如图1，在平面四边形中，当变化时，令对角线取到最大值，如图2，此时将沿折起，在将开始折起到与平面重合的过程中，直线与所成角的余弦值的取值范围是（）ABCD【答案】B【详解】设，在ABC中，由余弦定理，得，由正弦定理，得，.，在BCD中，由余弦定理，得,，当，即时，取得最大值，即BD的最大值为.过做交于，设直线与所成角为，又因为，由此可知越大，直线与所成角的
