《中考数学二轮复习考点提分特训专题08 圆与几何综合问题（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学二轮复习考点提分特训专题08 圆与几何综合问题（解析版）（89页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题08 圆与几何综合问题 一、【知识回顾】【思维导图】二、【考点类型】考点1：切线的判定典例1：（2023广西柳州统考模拟预测）如图，在中，以为直径的分别交边于点D、F过点D作于点E(1)求证：是的切线；(2)若半径为5，且，求的长【答案】(1)见解析(2)2【分析】（1）连接，根据，得 ，即有，可证 ，再根据可得，则可得 且为的半径，可得是的切线；（2）过点作于点，根据，根据垂径定理可得，又，得四边形为矩形，则有，设，则，根据勾股定理求解即可【详解】（1）证明：连接，且为的半径是的切线（2）过点作于点，又，四边形为矩形，设，则，在中，即，解得：，的长为2【点睛】本题考查的是切线的判定与性质
2、，垂径定理，矩形的判定与性质，勾股定理等知识点，掌握切线的判定定理、垂径定理是解题的关键【变式1】（2023秋河南信阳九年级统考期末）如图，是O的直径，四边形内接于O，D是的中点，交的延长线于点E(1)求证：是O的切线；(2)若，求的长【答案】(1)见解析(2)1【分析】（1）要证明是O的切线，所以连接，求出即可，根据已知 ，可得，所以只要证明即可解答；（2）由（1）可得平分，所以想到过点D作，垂足为F，进而证明，可得，易证，可得，然后进行计算即可解答【详解】（1）证明：连接，是的中点， ， 是O的半径，是O的切线（2）过点D作，垂足为F，由（1）得：，平分，,，四边形内接于O，,， 设，则，
3、即：【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，圆内接四边形性质，全等三角形的证明，添加辅助线是解题的关键【变式2】（2021辽宁锦州统考中考真题）如图，四边形ABCD内接于O，AB为O的直径，过点C作CEAD交AD的延长线于点E，延长EC，AB交于点F，ECDBCF（1）求证：CE为O的切线；（2）若DE1，CD3，求O的半径【答案】（1）见解析；（2）O的半径是4.5【分析】（1）如图1，连接OC，先根据四边形ABCD内接于O，得，再根据等量代换和直角三角形的性质可得，由切线的判定可得结论；（2）如图2，过点O作于G，连接OC，OD，则，先根据三个角是直角的四边形是矩形得四边形OGEC是矩形
4、，设O的半径为x，根据勾股定理列方程可得结论【详解】（1）证明：如图1，连接OC，四边形ABCD内接于O，又，OC是O的半径，CE为O的切线；（2）解：如图2，过点O作于G，连接OC，OD，则，四边形OGEC是矩形，设O的半径为x，RtCDE中，由勾股定理得，解得：，O的半径是4.5【点睛】本题考查的是圆的综合，涉及到圆的切线的证明、勾股定理以及矩形的性质，熟练掌握相关性质是解决问题的关键【变式3】（2023四川泸州统考一模）如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，交于点，连接，作，交的延长线于点(1)求证：；(2)求证：是的切线；(3)若，求的半径和的长【答案】(1)见解析(2)见解析(
5、3)15，【分析】（1）由圆周角定理及已知条件进行等量代换，然后利用内错角相等两直线平行证明即可（2）利用角平分线及圆周角定理得出是的中点，再利用垂径定理及平行线的性质推导得出为直角，即可证明（3）先证明，然后利用勾股定理计算得出的长，再利用平行线所截线段成比例求出【详解】（1）证明：， ，；（2）证明：连接， 平分， ， ， ， 是的半径，是的切线；（3）解：如图，设的半径为，则，在中，由勾股定理，得，解得：，的半径为15； ， ， 是的直径， ，在中，由勾股定理，得 ，即，解得， ，即 ，方法二： ， ， ， ，的半径为15；求长的步骤同上【点睛】本题主要考查平行的判定，圆周角定理，垂径定
6、理，勾股定理，切线的证明以及相似三角形，掌握切线的证明，相似三角形的判定及计算是解决本题的关键考点2：与线段有关的问题典例2：（辽宁省大连市金普新区2022-2023学年九年级上学期数学期末试卷）如图，以的边为直径作交于且，交于点(1)求证：；(2)若，求的长度【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由四边形内接于，得出，根据已知，得出，又，得出，等量代换得出，根据等角对等边，即可得证；（2）根据为直径，得出，根据已知以及（1）的结论，得出，设，则，在中，根据相等，根据勾股定理列出方程，解方程即可求解【详解】（1）证明：四边形内接于，又，；（2）解：如图所示，连接， 为直径，由（1），由（
7、1）可得，则，设，则，解得：，【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键【变式1】（2023秋山东滨州九年级统考期末）如图，是的切线，为切点，是的直径，连接、，交于点求证：(1)；(2)【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据切线长定理得出，根据三线合一得出，根据是的直径，得出，即可得证；（2）根据（1）的结论得出，进而得出，证明得出，即可得证【详解】（1）证明：，是的切线，是的直径，；（2）证明：，即， ，即【点睛】本题考查了切线长定理，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键【变式2】（2
8、022江西萍乡校考模拟预测）如图，是的外接圆，P是上的一动点(1)当的度数为多少时，；(2)若以动点P为切点的切线为，那么当的度数为多少时，切线与一边平行？【答案】(1)(2)或或【分析】（1）根据三角形内角和定理可得，再由，可得，再由圆周角定理，即可求解；（2）分三种情况：当时，连接；当时，连接，并反向延长，交于点E；当时，反向延长，交于点F，连接，结合切线的性质，垂径定理以及圆周角定理，即可求解【详解】（1）解：在中，当时，；（2）解：如图2，当时，连接，切于点P，是半径，；如图3，当时，连接，并反向延长，交于点E，切于点P，；如图4，当时，反向延长，交于点F，连接，切于点P，；终上所述，
9、的度数为或或【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的性质，垂径定理，三角内角和定理等知识，熟练掌握圆周角定理，切线的性质，垂径定理，利用分类讨论思想解答是解题的关键【变式3】（2023春安徽合肥九年级合肥寿春中学校考阶段练习）如图，在中，直径为，正方形的四个顶点分别在半径、以及上，并且(1)若，求的长度；(2)若半径是5，求正方形的边长【答案】(1)(2)【分析】（1）由四边形为正方形，得，则，又，求出，再连接，构造直角三角形，求出和的长，然后利用勾股定理即可求出圆的半径，可得（2）证出是等腰直角三角形，得出，求出，连接，得出，再根据勾股定理求出的长即可【详解】（1）解：四边形为正方形，连接，
10、则为直角三角形，即的半径为，；（2）四边形是正方形，在中，即，解得：，则正方形的边长为【点睛】此题考查了圆的性质，正方形的性质和等腰直角三角形的性质，解题的关键是证出是等腰直角三角形，得出，作出辅助线，利用勾股定理求解考点3：与角度有关的问题典例3：（2022北京统考中考真题）如图，是的直径，是的一条弦，连接(1)求证：(2)连接,过点作交的延长线于点，延长交于点，若为的中点，求证：直线为的切线【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）设交于点，连接，证明 ，故可得 ，于是 ，即可得到；（2）连接AD，解出，根据为直径得到，进而得到，即可证明，故可证明直线为的切线【详解】（1）证明
11、：设交于点，连接，由题可知， ，；（2）证明： 连接，同理可得：,，点H是CD的中点，点F是AC的中点，为的直径，直线为的切线【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，圆周角定理，直线平行的判定与性质，三角形的内角和公式，证明三角形全等以及证明平行线是解题的关键【变式1】（2022四川成都统考中考真题）如图，在中，以为直径作，交边于点，在上取一点，使，连接，作射线交边于点(1)求证：；(2)若，求及的长【答案】(1)见解析(2)BF=5，【分析】（1）根据中，得到A+B=ACF+BCF=90，根据，得到B=BCF，推出A=ACF； （2）根据B=BCF，A=ACF，得到
12、AF=CF，BF=CF，推出AF=BF= AB，根据，AC=8，得到AB=10，得到BF=5，根据，得到，连接CD，根据BC是O的直径，得到BDC=90，推出B+BCD=90，推出A=BCD，得到，推出，得到，根据FDE=BCE，B=BCE，得到FDE=B，推出DEBC，得到FDEFBC，推出，得到【详解】（1）解：中，A+B=ACF+BCF=90，B=BCF，A=ACF；（2）B=BCF，A=ACFAF=CF，BF=CF，AF=BF= AB，AC=8，AB=10，BF=5，连接CD，BC是O的直径，BDC=90，B+BCD=90，A=BCD，FDE=BCE，B=BCE，FDE=B，DEBC，FDEFBC，【点睛】本题主要考查了圆周角，解直角三角形，勾股定理，相似三角形，解决问题的关键是熟练掌握圆周角定理及推论，运用勾股定理和正弦余弦解直角三角形，相似三角形的判定和性质【变式2】（2021
