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1、八年级数学最短路径问题【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题， 旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结 点之间的最短路径算法具体的形式包括： 确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题 确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题 确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径 全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点” 【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移” 【出题背景】角、三角形、菱形、
2、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查 【十二个基本问题】【问题1】作法图形原理A1B在直线1上求一点P,使PA+PB值最小.连AB,与1交点即为P.B两点之间线段最短.PA+PB最小值为AB.【问题2】“将军饮马”作法图形原理A*B1在直线1上求一点P,使PA+PB值最小.作B关于1的对称点B 连A B,与1交点即为P.A1P芯B两点之间线段最短.PA+PB最小值为A B.【问题3】作法图形原理厶在直线11、12上分别求点 M、,使厶PMN的周长 最小.分别作点P关于两直线的 对称点P和P，连P P, 与两直
3、线交点即为M, N.P1厶NT.2P两点之间线段最短.PM+MN+PN的最小值为 线段P P的长.【问题4】作法图形原理厶在直线11、12上分别求点 M、N,使四边形PQMN 的周长最小.分别作点Q、P关于直线 1、12的对称点Q和P 连Q P,与两直线交点即 为 M, N.QV111讥 2P两点之间线段最短. 四边形PQMN周长的最小 值为线段P P的长.【问题5】“造桥选址”作法图形原理MAm将点A向下平移MN的长A两点之间线段最短.n度单位得A,连AB,交n 于点N,过N作NM丄m于 M.NmN B-J mAM+MN+BN的最小值为直线m n，在m、 n, 上分别求点M、N,使MN 丄
4、m，且 AM+MN+BN 的 值最小.nBA B+MN.【问题6】作法图形原理Atbl将点A向右平移a个长度 单位得AS作A，关于l的/， QB两点之间线段最短.M a N在直线l上求两点M、N（M 在左），使MN = a，并使 AM+MN+NB的值最小.对称点A ，连A B,交直线 l于点N,将N点向左平 移a个单位得M.M /NAAM+MN+BN的最小值为 A B+MN.【问题7】作法图形原理/l2作点P关于11的对称点 PB作PB丄12于B,交12 于A.Pzl2点到直线，垂线段最短.PA+AB的最小值为线段PB的长.在11上求点A,在12上求 点B,使PA+AB值最小.B【问题8】作法
5、图形原理MBA为l上一定点,B为12上 一定点，在12上求点M, 在11上求点N ,使 AM+MN+NB的值最小.作点A关于12的对称点 A,作点B关于li的对称 点BB连A z Bz交12于M, 交l1于N.wAB：MBl2两点之间线段最短. AM+MN+NB的最小值为 线段A B的长.【问题9】作法图形原理A.Bl连AB,作AB的中垂线与 直线l的交点即为P.A奄弋A垂直平分上的点到线段两 端点的距离相等.在直线l上求一点P,使 |PA - PB的值最小.l;PPA - PB =0.【问题10】作法图形原理ABl在直线l上求一点P,使|PA PB的值最大.作直线AB,与直线l的交 点即为P
6、.r lp三角形任意两边之差小于第三边.PA-PB WAB.|PA-PB|的最大值一AB.【问题11】作法图形原理Al*B在直线l上求一点P,使|paPB的值最大.作B关于l的对称点B 作直线A B,与l交点即为P.AlB三角形任意两边之差小于第三边.PA PB WAB，.|PA PB 最大值一AB，.【问题12】“费马点”作法图形原理A 厶BCABC中每一内角都小于 120，在ABC内求一点 P,使PA+PB+PC值最小.所求点为“费马点”，即满 足 ZAPB=ZBPC=ZAPC=120。.以 AB、AC 为边向外作等边aabd、 ACE，连 CD、BE 相交 于P,点P即为所求.D_两点之
7、间线段最短.PA+PB+PC 最小值一CD.BC【精品练习】1如图所示，正方形ABCD的面积为12,AABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）2如图，在边长为2的菱形ABCD中，ZABC=60, 交于点E、F,则ACEF的周长的最小值为（）A. 2B. 23C. 2 +i3D. 4若将AACD绕点A旋转，当AC、AD，分别与BC、CDA. 2,3B. 2J6C. 3D. 品3四边形ABCD中，ZB=ZD = 90,ZC=70,在BC、CD上分别找一点M、N,使AAMN的周长最小时,ZAMN+ZANM的度数为（）A. 120 B
8、. 130C. 110D. 140ANB4.如图，在锐角ABC中，AB = 4J2 ,ZBAC=45,ZBAC的平分线交BC于点D, M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是5如图,RtMBC中，ZC=90,ZB = 30, AB = 6,点E在AB边上，点D在BC边上（不与点B、C重合）,且ED=AE,则线段AE的取值范围是6.如图，ZAOB = 30。，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=1, ON =3,点P、Q分别在边OB、OA 上, 则MP+PQ + QN的最小值是.（注“勾股定理”：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方,即 RtABC 中，ZC=90，则有 A
9、C2 + BC2 = AB2 ）7如图，三角形ABC中，ZOAB=ZAOB = 15,点B在x轴的正半轴，坐标为B（ 3 , 0）.OC平分ZAOB，点M在OC的延长线上，点N为边OA上的点，则MA+MN的最小值是A9已知 A(1，1)、 B(4，2)(1) P为x轴上一动点，求PA+PB的最小值和此时P点的坐标;yJBOx(2) P为x轴上一动点，求|PA PB|的值最大时P点的坐标;yOx(3) CD为x轴上一条动线段，D在C点右边且CD=1,求当AC+CD+DB的最小值和此时C点的坐标;10点C为ZAOB内一点.(1) 在OA求作点D, OB上求作点E,使ACDE的周长最小，请画出图形；(2) 在(1)的条件下，若ZAOB = 30, OC=10，求ACDE周长的最小值和此时ZDCE的度数.A11. (1)如图，AABD 和ACE均为等边三角形，BE、CE交于F,连AF,求证：AF+BF+CF=CD；(2)在ABC 中，ZABC=30。，AB = 6, BC=8,ZA,ZC 均小于 120，求作一点 P,使 PA+PB+PC 的 值最小，试求出最小值并说明理由.图12荆州护城河在CC处直角转弯，都是东西、南北方向，桥与河岸垂直
