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1、高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作1.已知数列an是首项为a,=a,公差为2的等差数列，数列bn满足20-a.=nan.若ai,a3,a4成等比数列，求数列an的通项公式；(2)当_22空a乞-18时，不等式bn能否对于一切n恒成立？请说明理由.1数列Cn满足Cni-Cn=()(nN),其中&=1,f(n)二bn，Cn当a-20时，求f(n)的最小值2解：(1):an=a2(n-1),a1aa32,a=-8,an=2n-10.Van=a2(n-1),2g-a.二na.,.g(n1)a(n旦)2-(旦4)2.244令g(x)=(xa)2-(?4)2,；-22曲乞-18,-9,11(对称轴方程)
2、44422又xNjx=5,即a-20时，f(x)取得最小值当-22空a18时，不等式bn-b5对于一切nN恒成立(3)Cn1-Cn=(孑(nnL),2Cn二JG-Cj(C3-C2)川G-躺)=1()!(才=2-2222当a=-20时，bn=n2-10n-11,f(n)=bncn=n210n-9()n211.f(n1)=(n1)2-10(n1)-9-(一)n=n2-8n-18-()n221f(n1)-f(n)=2n-(一)n-92n5时，f(n1)f(n);1乞n岂4时，f(n1)：f(n)即f(1)f(2)|f(5),f(5)：f(6)|f(n):川f(n)min=f(5)=2.对于给定数列c
3、n，如果存在实常数p,q使得Cn.1二penq对于任意N都成立，我们称数列5是“M类数列”.(1) 若an=2n,bn=32n,n-N，数列a.、bn是否为“M类数列”？若是，指出它对应的实常数p,q，若不是，请说明理由；证明：若数列an是“M类数列”，则数列anan.1也是“M类数列”；n*若数列an满足a2,anan3t2(nN),t为常数求数列an前2013项的和并判断an是否为“M类数列”，说明理由；解:(1)因为an=2n,则有anan2,nN*故数列an是“M类数列”，对应的实常数分别为1,2因为bn=32n，则有bn1=2bnnN*故数列bn是“M类数列”，对应的实常数分别为2,
4、0(2) 证明：若数列an是“M类数列”，则存在实常数p,q，使得an=pan+q对于任意N都成立，且有a.2二pan1q对于任意nN*都成立，因此an1an2=panan12q对于任意N都成立，故数列：a“-an1也是“M类数列”.对应的实常数分别为p,2q因为an-an1=3t2(nN)则有S2013二a1+a2a：3+a4aH111+(82012a2013)=2，t(2-4)若数列an是“M类数列”，则存在实常数p,q使得anpanq对于任意n，N*都成立，且有an2pan1q对于任意nN*都成立，因此andan2=panan12q对于任意nN*都成立，而anan1=3t2(nN)，且a
5、.an1=3t2(nN)则有3t2n3tp2n2q对于任意n，N*都成立，可以得到t(p-2)=0,q=0,(1) 当p=2,q=0时，an1=2an,a-2,t=1，经检验满足条件。n1(2) 当t=O,q=O时，an-an,an=2(T),p=-1经检验满足条件。因此当且仅当t=1或t=0，时，数列fan?也是“M类数列”。对应的实常数分别为2,0,或-1,03.如果数列同时满足：（1）各项均不为0,（2）存在常数k,对任意nN,3n.1=3n3n2k都成立，则称这样的数列fan?为“类等比数列”.由此等比数列必定是“类等比数列”问：（1）若数列:a/?为“类等比数列”，且aa,ab（a,
6、b为常数），是否存在常数入，使得an-an.21对任意nN都成立？若存在，求出入；若不存在，请举出反例;（2）若数列:an为“类等比数列”，且a1二a,a2二b,k二a2，b2（a,b为常数），求数列aj的前n项之和Sn；数列Sn的前n项之和记为Tn，求T4k；（kN）解：（1）存在常数a2bk，使anan.2an.1aba1（或从必要条件入手a1a3a1a2b2-k)a2a2ab证明如下：因为a；彳=anan22k,所以an=andand-k,n_2,nN*所以2222an1_an=anan2-an4an1,即an1anan1=anan2a由于an=0,此等式两边同除以anan1,得anan2a2an1an1an所以anan2an1an1a1a3an1ana2即当nN都有anan.2a1a3因为=a,a?.2-b,an1-anan2k,所以a3bk，所以a1a3a2b2-k所以对任意nN都有an-an-2am,此时，*b2kaba2ab22(3)a2a1a3a1a3a1a22_=a(aa3)=0=aa=0,anan2an-4an1an1a1a3anan2=0,a2-2n4匚均为公比为-1的等比数列an=a(-1)2,n为奇数n，-_!b(_1)2,n为偶数Sn=a,ab,b,=4k_3(kN)n=4k2=4k1
