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1、圆锥曲线焦点弦长公式(极坐标参数方程)圆锥曲线的焦点弦问题是高考命题的大热点,主要是在解答题中,全国文科一般为压轴题的第22题,理科和各省市一般为第21题或者第20题,几乎每一年都有考察。由于题目的综合性很高的,运算量很大,属于高难度题目,考试的得分率极低。本文介绍的焦点弦长公式是圆锥曲线(椭圆、双曲线和抛物线)的通用公式,它是解决这类问题的金钥匙,利用这个公式使得极其复杂的问题变得简单明了,中等学习程度的学生完全能够得心应手!?定理 已知圆锥曲线(椭圆、双曲线或者抛物线)的对称轴为坐标轴(或平行于坐标轴),焦点为F,设倾斜角为的直线经过F,且与圆锥曲线交于A、B两点,记圆锥曲线的离心率为e,
2、通径长为H,则(1)当焦点在x轴上时,弦AB的长;(2)当焦点在y轴上时,弦AB的长.推论:(1)焦点在x轴上,当A、B在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时,;当A、B不在双曲线的一支上时,;当圆锥曲线是抛物线时,.(2)焦点在y轴上,当A、B在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时,;当A、B不在双曲线的一支上时,;当圆锥曲线是抛物线时,.典题妙解下面以部分高考题为例说明上述结论在解题中的妙用.例1(06湖南文第21题)已知椭圆,抛物线(0),且、的公共弦AB过椭圆的右焦点.()当轴时,求p,m的值,并判断抛物线的焦点是否在直线AB上;OABxy()若且抛物线的焦点在直线AB上,求m的值及直线AB的方程
3、.ABCDOxyP例2(07全国文第22题)已知椭圆的左、右焦点分别为、,过的直线交椭圆于B、D两点,过的直线交椭圆于A、C两点,且,垂足为P.(1)设P点的坐标为,证明:1.(2)求四边形ABCD的面积的最小值.例3(08全国理第21题文第22题)双曲线的中心为原点O,焦点在x上,两条渐近线分别为、,经过右焦点F垂直于的直线分别交、于A、B两点. 已知、成等差数列,且与同向.()求双曲线的离心率;ABy O F xNM()设AB被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程.金指点睛1. 已知斜率为1的直线过椭圆的上焦点F交椭圆于A、B两点,则=_.2. 过双曲线的左焦点F作倾斜角为的直线交双
4、曲线于A、B两点,则=_.3. 已知椭圆,过左焦点F作直线交A、B两点,O为坐标原点,求AOB的最大面积.BO xyAFyO F xAB4. 已知抛物线(0),弦AB过焦点F,设,AOB的面积为S,求证: 为定值.5.(05全国文第22题)P、Q、M、N四点都在椭圆上,F为椭圆在y轴正半轴上的焦点. 已知与共线,与共线,且.求四边形PQMN的面积的最大值和最小值.O xNPyMQF6. (07重庆文第22题)如图,倾斜角为的直线经过抛物线的焦点F,且与抛物线交于A、B两点.()求抛物线的焦点F的坐标及准线的方程;()若为锐角,作线段AB的垂直平分线m交轴于点P,证明为定值,并求此定值.yO F
5、 xABDECmP7. 点M与点的距离比它到直线的距离小1.(1)求点M的轨迹方程;FO xABDCy(2)经过点F且互相垂直的两条直线与轨迹相交于A、B;C、D. 求四边形ACBD的最小面积.8. 已知双曲线的左右焦点、与椭圆的焦点相同,且以抛物线的准线为其中一条准线. (1)求双曲线的方程;yAO xBCD (2)若经过焦点且互相垂直的两条直线与双曲线相交于A、B;C、D. 求四边形ACBD的面积的最小值.参考答案:证明:设双曲线方程为(0,0),通径,离心率,弦AB所在的直线的方程为(其中,为直线的倾斜角),其参数方程为.代入双曲线方程并整理得:.由t的几何意义可得:例1.解:()当轴时
6、,点A、B关于x轴对称,直线AB的方程为.从而点A的坐标为或.点A在抛物线上,即此时抛物线的焦点坐标为,该焦点不在直线AB上.()设直线AB的倾斜角为,由()知.则直线AB的方程为.抛物线的对称轴平行于轴,焦点在AB上,通径,离心率,于是有又AB过椭圆的右焦点,通径,离心率.OABxy解之得:.抛物线的焦点在直线上,从而.当时,直线AB的方程为;当时,直线AB的方程为例2.(1)证明:在中,.O是的中点, 得点P在圆上.显然,圆在椭圆的内部.故1.(2)解:如图,设直线BD的倾斜角为,由可知,直线AC的倾斜角.通径,离心率.又BD、AC分别过椭圆的左、右焦点、,于是ABCDOxyP四边形ABC
7、D的面积.故四边形ABCD面积的最小值为.例3,解:()设双曲线的方程为(0,0).、成等差数列,设,公差为d,则,. 即. 从而,.又设直线的倾斜角为,则. 的方程为. 而ABy O F xNM.解之得:()设过焦点F的直线AB的倾斜角为, 则. 而.通径.又设直线AB与双曲线的交点为M、N. 于是有:.即.解得,从而.所求的椭圆方程为.1. 解:,离心率,通径,直线的倾斜角.2. 解:,离心率,通径,直线的倾斜角.3. 解:,左焦点,离心率,通径.当直线的斜率不存在时,轴,这时,高,AOB的面积.当直线的斜率存在时,设直线的倾斜角为,则其方程为,即,原点O到直线AB的距离.BO xyAFA
8、OB的面积.0,0. 从而.当且仅当,即时,“=”号成立. 故AOB的最大面积为.4. 解:焦点为,通径.当直线AB的斜率不存在时,轴,这时,高,AOB的面积.,是定值.当直线AB的斜率存在时,设直线的倾斜角为,则其方程为,即,原点O到直线AB的距离.yO F xABAOB的面积.不论直线AB在什么位置,均有(为定值).5. 解:在椭圆中,由已知条件,MN和PQ是椭圆的两条弦,相交于焦点,且.如图,设直线PQ的倾斜角为,则直线MN的倾斜角. O xNPyMQF通径,离心率.于是有四边形PQMN的面积.故四边形PQMN面积的最小值和最大值分别为和2.6.()解:,抛物线的焦点F的坐标为,准线的方
9、程为.()证明:作于C,于D. 通径.yO F xABDECmP则.,从而.故为定值,此定值为8.7. 解:(1)根据题意,点M与点的距离与它到直线的距离相等,点M的轨迹是抛物线,点是它的焦点,直线是它的准线.从而,.FO xABDCy所求的点M的轨迹方程是.(2)两条互相垂直的直线与抛物线均有两个交点,它们的斜率都存在. 如图,设直线AB的倾斜角为,则直线CD的倾斜角为.抛物线的通径,于是有:.四边形ACBD的面积当且仅当取得最大值1时,这时.四边形ACBD的最小面积为128.8. 解:(1)在椭圆中,其焦点为、.在抛物线中,其准线方程为.在双曲线中,.所求的双曲线的方程为.(2)两条互相垂直的直线与双曲线均有两个交点,它们的斜率都存在. 如图,设直线AB的倾斜角为,则直线CD的倾斜角为.双曲线的通径,离心率. 于是有:.yAO xBCD四边形ACBD的面积=18当且仅当取得最大值1时,这时.四边形ACBD的最小面积为18.