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1、高考数学精品复习资料 2019.54.10 三角函数的应用知识梳理1.三角函数的性质和图象变换.2.三角函数的恒等变形.三角函数的化简、求值、证明多为综合题，突出对数学思想方法的考查.3.三角函数与其他数学知识的联系.特别要注意三角与几何、三角与平面向量的联系.点击双基1.已知sinx+cosx=，0x，则tanx等于A.或B.C.D.或解析：原式两边平方得2sinxcosx=2sinxcosx=12sinxcosx=sinxcosx=，可得sinx=，cosx=.tanx=.答案：B2.（2001年春季北京）若A、B是锐角ABC的两个内角，则点P（cosBsinA，sinBcosA）在A.第
2、一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：ABC为锐角三角形，A+B.AB，BA.sinAcosB，sinBcosA.P在第二象限.答案：B3.（2004年北京西城区一模题）设0|，则下列不等式中一定成立的是A.sin2sinB.cos2cosC.tan2tanD.cot2cot解析：由0|，知02|且2|，cos2|cos|.cos2cos.答案：B4.（2003年上海）若x=是方程2cos（x+）=1的解，其中（0，2），则=_.解析：x=是方程2cos（x+）=1的解，2cos（+）=1，即cos（+）=.又（0，2），+（，）.+=.=.答案：5.（2004年北京西城区二模题，理
3、）函数y=sinx（sinx+cosx）（xR）的最大值是_.解析：原式=sin2x+sinxcosx=+sin2x=sin2xcos2x+=sin（2x）+，其最大值为1+=.答案：典例剖析【例1】 化简cos（+）+cos（）（kZ）.剖析：原式=cos（k+）+cos（k）=cosk+（+）+cosk（+）.解：原式=cosk+（+）+cosk（+）=2coskcos（+）=2（1）k（coscossinsin）=（1）k（cossin），kZ.【例2】 已知sin（+）=，sin（）=，求的值.解：由已知得所以sincos=，cossin=.从而=.思考讨论由不解sincos、coss
4、in，能求吗?提示：，弦化切即可，读者不妨一试.【例3】 求函数y=，x（0，）的值域.剖析：将原函数中三角函数都化成单角的正弦函数，再换元将其转化为一元函数求解.解：y=.设t=sinx，则由x（0，）t（0，1）.对于y=1+，令=m，m（，1），则y=2m2+3m1=2（m）2+.当m=（，1）时，ymax=，当m=或m=1时，y=0.0y，即y（0，.评述：本题的解法较多，但此方法主要体现了换元转化的思想，在换元时要注意变量的范围.闯关训练夯实基础1.（2002年春季北京）若角满足条件sin20，cossin0，则在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：sin20，2在
5、第三、四象限.在第二、四象限.又cossin0，在第二象限.答案：B2.（2002年春季上海）在ABC中，若2cosBsinA=sinC，则ABC的形状一定是A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形解析：2cosBsinA=sinC=sin（A+B）sin（AB）=0，又A、B、C为三角形的内角，A=B.答案：C3.（2005年启东市高三年级第二次调研考试题）在斜ABC中，sinA=cosBcosC且tanBtanC=1，则A的值为 A.B.C.D.解析：由A=（B+C），sinA=cosBcosC得sin（B+C）=cosBcosC，即sinBcosC+cosBsinC=
6、cosBcosC.tanB+tanC=1.又tan（B+C）=，tanA=，tanA=.又0A，A=.答案：A4.函数y=sinxcosx的图象可由y=sinx+cosx的图象向右平移_个单位得到.解析：由y1=sinx+cosx=sin（x+），得x1=（周期起点）.由y2=sinxcosx=sin（x），得x2=（周期起点）.答案：5.函数y=sin（）的单调递减区间及单调递增区间分别是_.解析：y=sin（）=sin（）.故由2k2k+3kx3k+（kZ），为单调减区间；由2k+2k+3k+x3k+（kZ），为单调增区间.答案：3k，3k+（kZ）；3k+，3k+（kZ）6.已知0x，则
7、函数y=4sinxcosx+cos2x的值域是_.解析：可化为y=3sin（2x+），其中cos=，sin=，且有2x+.ymax=3sin=3，ymin=3sin（+）=3sin=1.值域是1，3.答案：1，3培养能力7.设a=（sinx1，cosx1），b=（，）.（1）若a为单位向量，求x的值；（2）设f（x）=ab，则函数y=f（x）的图象是由y=sinx的图象按c平移而得，求c.解：（1）|a|=1，（sinx1）2+（cosx1）2=1，即sinx+cosx=1，sin（x+）=1，sin（x+）=，x=2k或x=2k+，kZ.（2）ab=sin（x+）.f（x）=sin（x+），
8、由题意得c=（，）.8.求半径为R的圆的内接矩形周长的最大值.解：设BAC=，周长为P，则P=2AB+2BC=2（2Rcos+2Rsin）=4Rsin（+）4R，当且仅当=时，取等号.周长的最大值为4R.探究创新9.（2004年北京东城区高三第一次模拟考试）在ABC中，若sinC（cosA+cosB）=sinA+sinB.（1）求C的度数；（2）在ABC中，若角C所对的边c=1，试求内切圆半径r的取值范围.解：（1）sinC（cosA+cosB）=sinA+sinB，2sinCcoscos=2sincos.在ABC中，.cos0.2sin2cos=cos，（12sin2）cos=0.（12si
9、n2）=0或cos=0（舍）.0C，C=.（2）设RtABC中，角A和角B的对边分别是a、b，则有a=sinA，b=cosA.ABC的内切圆半径r=（a+bc）=（sinA+cosA1）=sin（A+）.ABC内切圆半径r的取值范围是0r.思悟小结三角函数是中学教材中一种重要的函数，它的定义和性质有许多独特的表现，是高考中对基础知识和基本技能考查的重要内容之一，同时，由于三角函数和代数、几何知识联系密切，它又是研究其他各类知识的重要工具，因此应重视对知识理解的准确性，加强对三角知识工具性的认识.教师下载中心教学点睛1.因本节是三角函数的应用，建议教学中让学生自己总结一下三角函数本身有哪些应用，
10、使知识能条理化并形成一个网络.2.总结本章涉及的数学思想方法，以及与三角相关联的一些知识点.拓展题例【例1】 已知cosB=cossinA，cosC=sinsinA.求证：sin2A+sin2B+sin2C=2.分析：本题为条件恒等式的证明，要从条件与要证的结论之间的联系入手，将结论中的sin2B、sin2C都统一成角A的三角函数.证法一：sin2A+sin2B+sin2C=sin2A+1（cossinA）2+1（sinsinA）2=sin2A+1cos2sin2A+1sin2sin2A=sin2A（1sin2）+1cos2sin2A+1=sin2Acos2sin2Acos2+2=2.原式成立
11、.证法二：由已知式可得cos=，sin=.平方相加得cos2B+cos2C=sin2A+=sin2Acos2B+cos2C=2sin2A2.12sin2B+12sin2C=2sin2A2，sin2A+sin2B+sin2C=2.【例2】 函数f（x）=12a2acosx2sin2x的最小值为g（a），aR，（1）求g（a）；（2）若g（a）=，求a及此时f（x）的最大值.解：（1）f（x）=12a2acosx2（1cos2x）=2cos2x2acosx12a=2（cosx）22a1.若1，即a2，则当cosx=1时，f（x）有最小值g（a）=2（1）22a1=1；若11，即2a2，则当cosx=时，f（x）有最小值g（a）=2a1；若1，即a2，则当cosx=1时，f（x）有最小值g（a）=2（1）22a1=14a.g（a）=（2）若g（a）=，由所求g（a）的解析式知只能是2a1=或14a=.由a=1或a=3（舍）.由a=（舍）.此时f（x）=2（cosx+）2+，得f（x）max=5.若g（a）=，应a=1，此时f（x）的最大值是5.
