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1、二、积分证明题例1、设f()在0,上持续,,求证存在证:令F(x) 则(0)0,F()=,又0=如果F(x)in在(,)内恒为正,恒为负 则也为正或为负,与上面成果矛盾,故存在使,而sn,因此()= 于是在区间上分别用罗尔定理,则存在使,存在=0,其中例2、设在0,1上有持续的一阶导数,且(0)=f()=0,试证:,其中M证:用拉格朗日中值定理f(x)=(x)-f(0),其中f(x)=f(x)f()=,其中由 题设可知; 又因此M例设f(x),g(x)在上持续,证明证一:(引入参数法)设t为实参数, 则+2作为的一元二次不等式 AtC,则-C0即,因此证二:(引入变上限积分)令F(u)于是=f
2、(u)(u) = 则 F(u)在上单调不增 故即证三:(化为二重积分解决)令 I , 则,其中区域D:,同理 2I=,故2因此,=例4.设(x)在上持续,证明证:在例3中,令g(x)=,则于是=例5.设在上持续,且0,证明证:在例3柯西不等式中,取f()为 ,g(x)为则,,而因此例、设在上具有持续导数,且=,求证:证:在例3柯西不等式中取(x)为,g()为x于是=一、 有关变上(下)限积分例、设f()= (常数),求解: = -例、设f()在内可导,f(1),对所有x,t,均有,求(x)解:把所给方程两边求x求导,t(x)tf()+d把x1代入,得 (t)= 再两边对t求导,得(t)+t于是
3、,则f(t)=lnt +C,令t=代入得C=()= ,因此(x)=(nx+1)例2 设()为持续函数,且满足+2=,求(x)在0,上的最大值与最小值。解:先从方程中求出f(x),为此方程两边对x求导 =而=因此两边再对x求导,得2(2x)=2-2x=6 ()3=x3,令得驻点 =又在,上f(x)没有不可导点,比较f(0)=0,()-,f()=6可知f(x)在0,2上最大值为()6,最小值为f()例3 设(x)在上持续,且f(x),证明g(x)内单调增长证:当x0时,由于 ()在内单调增长例5求函数的单调区间与极值解:因此,令,得驻点,x0, x=1, x=-1又,故0为极大值f()=(1)=0为极小值