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1、圆和圆的位置关系 教学内容 1两个圆相离(外离、内含),两个圆相切(外切、内切),两个圆相交等概念 2设两圆的半径分别为r1、r2,圆心距(两圆圆心的距离)为d,则有两圆的位置关系,d与r1和r2之间的关系 外离dr1+r2 外切d=r1+r2 相交r1-r2dr1+r2 内切d=r1-r2 内含0dr1-r2(其中d=0,两圆同心) 教学目标 了解两个圆相离(外离、内含),两个圆相切(外切、内切),两圆相交、圆心距等概念 理解两圆的互解关系与d、r1、r2等量关系的等价条件并灵活应用它们解题 通知复习直线和圆的位置关系和结合操作几何,迁移到圆与圆之间的五种关系并使用它们解决一些具体的题目 重
2、难点、关键 1重点:两个圆的五种位置关系中的等价条件及它们的使用 2难点与关键:探索两个圆之间的五种关系的等价条件及应用它们解题 教学过程 一、复习引入 请同学们独立完成下题 在你的随堂练习本上,画出直线L和圆的三种位置关系,并写出等价关系老师点评:直线L和圆的位置关系有三种:相交、相切、相离,如图(a)(c)所示(其中d表示圆心到直线L的距离,r是O的半径) (a) 相交 dr 二、探索新知 请每位同学完成下面一段话的操作几何,四人一组讨论你能得到什么结论 (1)在一张透明纸上作一个O1,再在另一张透明纸上作一个与O1半径不等的O2,把两张透明纸叠在一起,固定O1,平移O2,O1与O2有几种
3、位置关系? (2)设两圆的半径分别为r1和r2(r1r2),圆心距(两圆圆心的距离)为d,你又能得到什么结论? 老师用两圆在黑板上运动并点评:能够发现,能够会出现以下五种情况: (1)图(a)中,两个圆没有公共点,那么就说这两个圆相离; (2)图(b)中,两个圆只有一个公共点,那么就说这两个圆相切 (3)图(c)中,两个圆有两个公共点,那么就说两个圆相交 (4)图(d)中,两个圆只有一个公共点,那么就说这两个圆相切为了区分(e)和(d)图,把(b)图叫做外切,把(d)图叫做内切 (5)图(e)中,两个圆没有公共点,那么就说这两个圆相离,为了区分图(e)和图(e),把图(a)叫做外离,把图(e)
4、叫做内含 图(f)是(e)甲的一种特殊情况圆心相同,我们把它称为同心圆 问题(分组讨论)如果两圆的半径分别为r1和r2(r1r1+r2; 外切只有一个交点,结合图(a),也很明显d=r1+r2; 相交有两个交点,如图两圆相交于A、B两点,连接O1A和O2A,很明显r2-r1dr1+r2;内切是内含加相切,所以d=r2-r1;内含是0dr2-r1(其中d=0,两圆同心)反之,同样成立,所以,我们就有一组等价关系(老师填完表格) 例1两个同样大小的肥皂泡黏在一起,其剖面如图1所示(点O,O是圆心),分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线,TP、NP分别为两圆的切线,求TPN的大小 (1) (2) 分
5、析:要求TPN,其实就是求OPO的角度,很明显,POO是正三角形,如图2所示 解:PO=OO=PO POO是一个等边三角形 OPO=60 又TP与NP分别为两圆的切线, TPO=90,NPO=90 TPN=360-290-60=120 例2如图1所示,O的半径为7cm,点A为O外一点,OA=15cm,求:(1)作A与O外切,并求A的半径是多少? (1) (2) (2)作A与O相内切,并求出此时A的半径 分析:(1)作A和O外切,就是作以A为圆心的圆与O的圆心距d=rO+rA;(2)作OA与O相内切,就是作以A为圆心的圆与O的圆心距d=rA-rO 解:如图2所示,(1)作法:以A为圆心,rA=1
6、5-7=8为半径作圆,则A的半径为8cm(2)作法:以A点为圆心,rA=15+7=22为半径作圆,则A的半径为22cm 三、巩固练习 教材P101 练习 四、应用拓展 例3如图1所示,半径不等的O1、O2外离,线段O1O2分别交O1、O2于点A、B,MN为两圆的内公切线,分别切O1、O2于点M、N,连结MA、NB (1)试判断AMN与BNM的数量关系?并证明你的结论(2)若将“MN”为两圆的内公切线改为“MN为两圆的外公切线”,其余条件不变,AMN与BNM是否一定满足某种等量关系?完成下图并写出你的结论 (1) (2) 分析:(1)要说明AMN与BNM的数量关系,只要说明MAB和NBA的数量关
7、系,只要说明O2BN和O1AM的数量关系,又因为O2BN=O1NB,O1MA=O1AM,因此,只要连结O1M,O2N,再说明MO1A=NO2B,这两个角相等是显然的 (2)画出图形,从上题的解答我们可以得到一个思路,连结O1M、O2N,则O1MN+O2NM=180,MO1A+NO2B=180,O2NB+O1MA=90,AMN+BNM=90 解:(1)AMN=BNM 证明:连结O1M、O2N,如图2所示 MN为两圆的内公切线, O1MMN,O2NMN O1MO2N MO1A=NO2B O1M=O1A,O2N=O2B O1MA=O2NB AMN=BNM (2)AMN+BNM=90 证明:连结O1M、O2N MN为两圆的外公切线O1MMN,O2NMN O1MO2N MO1A+NO2B=180 O1M=O1A,O2N=O2B O1MA+O2NB=180=90AMN+BNM=180-90=90 五、归纳小结(学生归纳,老师点评) 本节课应掌握: 1圆和圆位置关系的概念:两个圆相离(外离、内含),相切(外切、内切),相交 2设两圆的半径为r1,r2,圆心距为d(r1r1+r2 外切d=r1+r2 相交r2-r1dr1+r2 内切d=r2-r1 内含0dr2-r1(当d=0时,两圆同心) 六、布置作业 教材P102 复习巩固6、7 综合运用11、13