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1、2011年高考数学模拟题一、填空题1.已知复数 z1=m+2i，z2=3-4i，若 为实数，则实数m的值为 。-。2如图墙上挂有边长为a的正方形木板，它的四个角的空白部分 都是以正方形的顶点为圆心，半径为的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是 。1-。3. 甲、乙两个学习小组各有10名同学，他们在一次数学测验中成绩的茎叶图如下图所示，则他们在这次测验中成绩较好的是甲组。甲 乙5 8 53 6 47 94 7 4569 76641 8 029 2 9 4. 设集合A=0,1,2，B=0,1,2，分别从集合A和B中随机 取一个数a,
2、和b，确定平面上的一个点P(a,b)，记“点P(a,b)落在直线x+y=n上”为事件Cn(0n4， nN)，若事件Cn的概率最大，则n的可能值为 。2。5. 在平面直角坐标系中，正方形ABCD的中心坐标为(3，2)，其一边AB所在直线的方程为x-y+1=0，则边AB的对边CD所在直线的方程为 。x-y-3=0。6. 某个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 cm3。(cm3)。7. 若点P(2，0)到双曲线-=1的一条渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为 。8已知流程图如右图所示，该程序运行后，为使输出的b值为16，则循环体的判断框内处应填 。3。9. 函数y=f(x)的图像在点M(1,
3、 f(1)处的切线方程是y=3x-2，则f(1)+ f (1)= 。4。10若直线ax+by=1(a,bR)经过点(1，2)，则+的最小值是 。3+2。11已知在平面直角坐标系xOy中，O(0,0), A(1,-2), B(1,1), C(2.-1)，动点M(x,y) 满足条件，则的最大值为 。4。14.下列命题中，错误命题的序号有 (1)、(2)、(3) 。 (1)“a=-1”是“函数f(x)= x2+|x+a+1| ( xR) 为偶函数”的必要条件； (2)“直线l垂直平面内无数条直线”是“直线l垂直平面”的充分条件； (3)已知a，b，c为非零向量，则“ab= ac”是“b=c”的充要条
4、件； (4)若p: xR，x2+2x+20,则 p:xR，x2+2x+20。二、代数基本题1、已知向量a=(cosx，sinx)，b=(-cosx，cosx)，c=(-1，0)。(1)若x=，求向量a，c的夹角；(2)当x，时，求函数f(x)=2ab+1的最大值。解：(1)当x=时，cos=-cosx=-cos=cos。 0，=。(2) f(x)=2ab+1=2(-cos2x+sinxcosx)+1=2sinxcosx-(2cos2x-1)=sin2x-cos2x=sin(2x-)。 x，2x-，2，故sin(2x-)-1, ，当2x-=，即x=时，f(x)max=1。2、已知ABC的三个内角
5、A、B、C的对边分别为a、b、c，且b2+c2=a2+bc，求：(1) 2sinBcosC-sin(B-C)的值；(2)若a=2，求ABC周长的最大值。解：(1)b2+c2=a2+bc，a2=b2+c2-bc，结合余弦定理知cosA=，A=，2sinBcosC-sin(B-C)= sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)=sinA=。 (2)由a=2，结合正弦定理，得 b+c=sinB+sinC =sinB+sin(-B) =2sinB+2cosB=4sin(B+)，可知周长的最大值为6。3、口袋中装有质地大小完全的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏：甲先摸
6、一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号。如果两个编号的和为偶数就算甲胜，否则算乙胜。(1)求甲胜且编号的和为6的事件发生的概率；(2)这种游戏规则公平吗？说明理由。解：(1)设“甲胜且两个编号的和为6”为事件A，甲编号x，乙编号y，(x，y)表示一个基本事件，则两人摸球结果包括(1，1)，(1，2)，(1，5)，(2，1)，(2，2)，(5，4)，(5，5)共25个基本事件；A包含的基本事件有(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)共5个，所以P(A)= 。答：编号之和为6且甲胜的概率为。(2)这种游戏不公平。设“甲胜”为事件B，“乙胜”为事件C。甲胜即两编号之和为偶
7、数所包(含基本事件数为以下13个：(1，1)，(1，3)，(1，5)，(2，2)，(2，4)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(4，2)，(4，4)，(5，1)，(5，3)，(5，5)；所以甲胜的概率为P(B)=。乙胜的概为P(C)=1-=，P(B)P(C)，这种游戏规则不公平。三、立体几何题4、如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，PD=PA，E、F分别是AB、PD的中点。 (1)求证：AF平面PCE； (2)求证：平面PCE平面PCD。证明：(1)取PC中点G，连接FG、EG。因为F、G分别为PD、PC的中点，所以FGCD且FG=CD，又AECD且AE=CD，所以，FGAE且FG=A
8、E，四边形AEGF为平行四边形，因此，AFEG，又AF 平面PCE，所以AF平面PCE。(2) 由PA平面ABCD，知PACD，又CDAD，所以CD平面PAD，CDAF。又PAAD，F为PD的中点，则AFPD，因此，AF平面PCD。而AFEG，故EG平面PCD，又EG平面PCE，所以，平面PCE平面PCD。四、解析几何题5、已知椭圆 x2+=1(0b1)的左焦点为F，左、右顶点分别为A，C，上顶点为B，过F、B、C作P，其中圆心P的坐标为(m,n)。(1)当m+n0时，求椭圆离心率的范围；(2)直线AB与P能否相切？证明你的结论。解：(1)设F、B、C的坐标分别为(-c, 0)，(0, b)，
9、(1, 0)，则FC、BC的中垂线分别为x=，y-=(x-)，联立方程组，解出 。 m+n=+0，即 b-bc+b2-c0，即 (1+b)(b-c)0，bc。从而b2c2，即有 a22c2，e2，又e0，0e。(2)直线AB与P不能相切。由 kAB=b，kPB=，如果直线AB与P相切，则 b=-1，又b2+c2=1，解出c=0或2，与0c1矛盾，所以直线AB与P不能相切。五、导数应用题6、水库的蓄水量随时间而变化，现用t表示时间(单位：月)，以年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量(单位：亿立方米)关于t的近似函数关系式为v(t)= 。(1)若该水库的蓄水量小于50的时期称为枯水期，以i-1
10、ti表示第i月份(i=1，2，12)，问一年内那几个月份是枯水期？(2)求一年内该水库的最大蓄水量(取e3=20计算)。解：(1)当0t9时，v(t)=(-t2+15t-51)et+5050，即t2-15t+510，解得 t或 t，从而 0t5.2。当9t12时，v(t)=4(t-9)(3t-41)+5050，即(t-9)(3t-41) 0，解得 9t，所以 9t12。综上，0t5.2或9t12，枯水期为1，2，3，4，5，10，11，12月。(2)由(1)知，水库的最大蓄水量只能在69月份。 v(t)=(-t2+13t-36)et =-et(t-1)(t-9)，令v(t)=0，解得t=9或t
11、=4(舍去)，又当t(6,9)时，v(t)0；当t(9,10)时，v(t)0。所以，当t=9时，v(t)的最大值v(9)=3e9+50=150(亿立方米)，故一年内该水库的最大蓄水量是150亿立方米。7、一变压器的铁芯截面为正十字形，为保证所需的磁通量，要求十字形应具有4m2的面积。问应如何设计十字形的宽x及长y，才能使其外接圆的周长最短，这样可使绕在铁芯上的铜线最节省。解：设AB=h，则长y=2h+x。由题意，x2+4xh=4，h=，又 l=2R，欲求l的最小值，只须求出R的最小值， 4R2= x2+(2h+x)2=2(x2+2hx+2h2)，设 (x)= x2+2hx+2h2= x2+2h
12、2+=+x2+(0x2R)。令 (x)= x- =0 x4=16，x=2，这时 h=，y=2h+x=+1。根据问题的实际意义，此最小周长l，最小半径R是存在的，故 x=2cm，y =(+1)cm 即为所求。六、数列综合题8.设数列an满足a1 = 3，an+1 = 2ann2n+13n，n1。(1)求数列an的通项公式；(2)求数列an的前n项之和Sn。解: (1) an = 2an-1(n-1)2n3n-1=22an-2+(n-2)2n-13n-2(n-1)2n3n-1=22an-2(n-2)(n-1)2n(23n-23n-1)=222an-3(n-3)2n-23n-3(n-2)(n-1)2
13、n(23n-23n-1)=23an-3(n-3)(n-2)(n-1)2n(223n-323n-23n-1)=2 n-1a1123(n-1)2n(2n-232n-3323n-1)=2n-132n2n-23=2n-1(n2-n3)2n-13()n-1-1=2n-1(n2-n)3n。(2)设数列bn，其中 bn =2n-1(n2-n)，Mn 为其前n项和，则Sn= Mn3n。Mn =0122123223423(n-1)n2n-1，2Mn = 12222323(n-1)n2n，相减得 - Mn = 122222232232(n-1)2n-1- (n-1)n2n=122223324(n-1)2n- (n-1)n2n，-2 Mn = 123224325(n-1)2n+1- (n-1)n2n+1，相减得 Mn = 12223242n- (n-1)2 n+1(n-1)n2n = (2-n)2 n+1(n-1)n2n-4，Sn = Mn3323n= - (n-2)2n+1(n-1)n2n-4。七、函数综合题9、已知函数f(x)=x+，g(x)= x-，
