《必修4“第二章平面向量”介绍》由会员分享，可在线阅读，更多相关《必修4“第二章平面向量”介绍（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、必修4“第二章平面向量”介绍向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具。向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系。向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。在本章中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力。一、内容与课程学习目标本章主要包括平面向量的实际背景及基本概念、平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面
2、向量的数量积、平面向量应用五部分内容。通过本章学习，应引导学生：1. 通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义,理解向量的几何表示。2. 通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义。3. 通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义。4. 了解向量的线性运算性质及其几何意义。5. 了解平面向量的基本定理及其意义。6. 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。7. 会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。8. 理解用坐标表示的平面向量共线的条件。9. 通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义。10. 体会平面向量的
3、数量积与向量投影的关系。11. 掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。12. 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。13. 经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。二、本章内容安排本章共安排了5个小节及2个选学内容，大约需要12个课时，具体分配如下（仅供参考）2课时2. 1平面向量的实际背景及基本概念2.2向量的线性运算2课时2.3平面向量的基本定理及坐标表示2课时2.4平面向量的数量积2课时2.5平面向量应用举例2课时小结2课时本章
4、知识结构如下：1. 第一节包括向量的物理背景与概念、向量的几何表示、相等向量与共线向量。教科书首先从位移、力等物理量岀发，抽象岀既有大小、又有方向的量一一向量，并说明向量与数量的区别。然后介绍了向量的几何表示、有向线向量的长度（模）、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等基本概念。2. 第二节有向量加法运算及其几何意义、向量减法运算及其几何意义、向量数乘运算及其几何意义等内容。教科书先讲了向量的加法、加法的几何意义、加法运算律；再用相反向量与向量的加法定义向量的减法，把向量的减法与加法统一起来，并给岀向量减法的几何意义；然后通过向量的加法引入了实数与向量的积的定义，给岀了实数与向量的
5、积的运算律；最后介绍了两个向量共线的条件和向量线性运算的运算法则。3. 第三节包括平面向量基本定理、平面向量的正交分解及坐标表示、平面向量的坐标运算、平面向量共线的坐标表示。平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐标表示的基础。教科书首先通过一个具体的例子给出平面向量基本定理，同时介绍了基底、夹角、两个向量垂直的概念；然后在平面向量基本定理的基础上，给出了平面向量的正交分解及坐标表示，向量加、减、数乘的坐标运算和向量坐标的概念，最后给出平面向量共线的坐标表示。坐标表示使平面中的向量与它的坐标建立起了一一对应的关系，这为通过“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁。4. 第四节包括平面向量数量积的物
6、理背景及其含义、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。教科书从学生熟知的功的概念出发，引出了平面向量数量积的概念及其几何意义，接着介绍了向量数量积的性质、运算律及坐标表示。向量数量积把向量的长度和三角函数联系了起来，这样为解决有关的几何问题提供了方便，特别能有效地解决线段的垂直问题。5. 第五节包括平面几何中的向量方法、向量在物理中的应用举例。由于向量来源于物理，并且兼具“数”和“形”的特点，所以它在物理和几何中具有广泛的应用。本节通过几个具体的例子说明了它的应用。6. 为了拓展学生的知识面，使学生了解向量及向量符号的由来，向量的运算（运算律）与几何图形形式的关系，本章安排了两个阅读与思考”：向
7、量几向量符号的由来，向量的运算（运算律）与图形性质。三、编写中考虑的几个问题教学体系、内容上的变化在体系上，标准将必修4的内容分成三章：三角函数、平面向量和三角恒等变换,将原“平面向量”中的“正弦定理、余弦定理和解斜三角形应用举例”两节改成“解三角形”放入必修5中.在内容上，新教材删减了“线段的定比分点”和“平移”这两节，不再明确地提出定比分点坐标公式，而将其作为书本上的一道探究题，由学生自己完成.这样做是为了降低难度、减少课时.并且，新教材增加了“平面向量应用举例”一节，用向量解决平面几何和物理中的问题，让学生深切体会向量的工具作用，发展他们应用向量知识的数学意识1. 突出向量的物理背景与几
8、何背景教科书特别注意从丰富的物理背景和几何背景中引入向量概念。在引言中通过日常生活中确定“位置”中的位移概念，说明学习向量知识的意义；在2.1节，通过物理学中的重力、浮力、弹力、速度、加速度等作为实际背景素材，说明它们都是既有大小又有方向的量,由此引出向量的概念；引出向量概念后，教科书又利用有向线段给出了向量的几何背景，并定义了向量的模、单位向量等概念。这样的安排，可以使学生认识到向量在刻画现实问题、物理问题以及数学问题中的作用，使学生建立起理解和运用向量概念的背景支持。教科书借助几何直观，并通过与数的运算的类比引入向量运算，以加强向量的几何背景。例如，关于向量的减法，在向量代数中，常有两种定
9、义方法，第一种是将向量的减法定义为向量加法的逆运算，即如果a+x=b,贝！Jx叫做向量b与a的差。这样，作ba时，可先在平面内取一点,再作=b则丽就是b-a,第二种方法是在相反向量的基础上，通过向量的加法定义向量的减法，即已知a、b,定义*+在这种定义下，作时，可先在平面内任取一点,作皿=b,则由向量加法平行四边形法则知，OCT=*+（-?）0由于b+=即西就是4。实践表明,中学生理解第一种定义方法存在困难，但能容易地作岀D-4；接受第二种定义方法容易,但作b-a较繁。为便于学生接受，教科书先类比相反数给出相反向量，再把b-a定义为然后借助几何直观得出b-a的作法（向量减法的几何意义）3 .强
10、调向量作为解决现实问题和数学问题的工具作用为了强调向量作为刻画力、速度、位移等现实中常见现象的有力的数学工具作用，本章特别注意联系实际。特别是在概念引入中加强与实际的联系。例如，在引入向量的概念时,联系了位移、物体在液体中的受力分析、弹簧受力分析等；向量的加法运算、平面向量的正交分解、平面向量的数量积等都与相应的物理问题建立联系；向量加法的三角形法则和平行四边形法则与位移的合成、力的合成相联系。另外，向量也是解决数学问题的好工具，例如，和（差）角的三角函数公式、线段的定比分点公式、平面两点间距离公式、平移公式及正弦定理、余弦定理等都可以用向量为工具进行推导；向量作为沟通代数、几何与三角函数的桥
11、梁，是一个很好的数形结合工具，教科书通过“平面几何中的向量方法”进行了介绍，并在第三章用向量方法来推导两角差的余弦公式。这些处理也都是为了体现向量作为基本的、重要的数学工具的地位。4 ?根据数学知识的发展过程与学生的认知过程安排内容受，根据向量向量是高中数学课程近年来引进的新内容，为了保证其科学性，同时又易于被学生接到学生在数及其运算中建立到学生在数及其运算中建立知识的发展过程和学生的思维规律，根据“标准”对向量內容的定位，并考虑起来的经验，本章按照如下次序来编排：向量的实际背景及基本概念一向量的线性运算一平面向量基本定理及坐标表示向量的数量积f向量应用举例。具体的考虑是：(1)借助力、速度、
12、位移等现实中的常见现象，让学生认识引进向量的必要性，并得出向量是既有大小又有方向的量，给出向量的概念(2)数学中引进一个新的量，自然要看看它的运算及其运算律的问题。向量运算可以与我们熟悉的数的运算进行类比，从中得到启发，因此在引进向量概念后接着讨论向量的线性运算(加、减及数乘)是很自然的。只是要对向量与数之间不同的地方要非常小心，也即运算中除了考虑大小，还要考虑方向问题。这里，为了便于学生理解，还要借助于物理中力的合成来定义向量的加法。(3)受到数轴上的点表示数的启发，向量能不能用类似于数轴上的点的形式来表示呢？根据这个想法，以向量的加法运算为基础，得出平面向量基本定理，就可以引进向量的坐标表
13、示。(4)从运算的角度看，自然要研究两个向量是否可以相乘，如果可以，那么结果怎样？还是从向量的物理背景中得到启发，可以定义两个向量的数量积运算，并讨论运算律问题。至于向量是否可以作其他运算，以及如何定义，可以作为悬念留待今后解决。(5)学习的目的在于应用，应用的过程中可以加深理解相关知识，因此安排了向量的简单应用”。本章內容的这种想法，如果能够让学生在学习过程中明确起来，那么对他们掌握本章内容会有很大帮助中，往往采取先介绍向量的概念及各种运算，并直接用向量解决有关几何问题，然后再引进坐标，并用向量和坐标方法讨论空间直线、平面、二次曲面及一般的曲面，其目的是突出向量的工具性。本章为了尽早让学生知
14、道处理几何问题的另两种方法一一向量法和坐标法，突出数形结合的思想，在平面向量基本定理、平面向量的正交分解后就引进向量的坐标，并把向量的线性运算及向量的共线等用坐标表示。这里需要说明的是，向量的坐标表示的引入，由于目的不同而有不同的处理方式。高等数学教材5.强调向量法的基本思想，明确向量运算及运算律的核心地位问题可以通过向量及其运算得到解决。另外，向量及其运算(运算律)与几何图形的性质紧密相联，向量向量具有明确的几何背景，向量的运算及运算律具有明显的几何意义，因此涉及长度、夹角的几何以用向量的运算(运算律)来表示。例以用向量的运算(运算律)来表示。例的运算(包括运算律)可以用图形直观表示，图形的
15、一些性质也可如，平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型，而向量的加法及其交换律（a+b=b+a）又可以表示平行四边形的性质（在平行四边形ABCD中，ADBC,ABCD,AABDSbCDB）。这样，建立了向量运算（包括运算律）与几何图形之间的关系后，可以使图形的研究推进到有效能算的水平，向量运算（运算律）把向量与几何、代数有机地联系在一起。几何中的向量方法与解析几何的思想具有一致性，不同的只是用“向量和向量运算”来代替解析几何中的“数和数的运算”。这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果。如果把解析几何的方法简单地表述为形到数数的运算数到形,则向量方法可简单地表述为形到向量向量的运算向量和数到形0教科书特别强调了向量法的上述基本思想，并根据上述基本思想明确提出了用向量法解决几何问题的“三步曲”。为了使学生体会向量运算及运算律的重要性，教科书注意引导学生在解决具体问题时及时进行归纳，同时还明确使用了“因为有了运算，向量的力量无限；如果没有运算，向量只是示意方向的路标”的提示语。6.通过与数及其运算的类比，向量法与坐标法的类比，建立相关知识的联系，突出思想性向量及其运算与数及其运算既有区别又有联系，在研究的思想方法上可以进行类
