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1、2022年高考数学一轮总复习 专题22 解斜三角形检测 文本专题特别注意：1.解三角形时的分类讨论（锐角钝角之分）2. 边角互化的选取3. 正余弦定理的选取4.三角形中的中线问题 5.三角形中的角平分性问题6.多个三角形问题【学习目标】掌握正、余弦定理，能利用这两个定理及面积计算公式解斜三角形，培养运算求解能力【方法总结】1.利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角).2.由正弦定理容易得到：在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即
2、ABabsin Asin B.3.已知三角形两边及其一边的对角解三角形时，利用正弦定理求解时，要注意判断三角形解的情况(存在两解、一解和无解三种可能).而解的情况确定的一般方法是“大边对大角且三角形钝角至多一个”.4.利用余弦定理，可以解决以下三类有关三角形的问题：(1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其余角；(3)已知两边和其中一边的对角，求其他边和角.(4)由余弦值确定角的大小时，一定要依据角的范围及函数值的正负确定.高考模拟：一、单选题1的内角， ， 的对边分别为， ， 若的面积为，则A. B. C. D. 【答案】C点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面
3、积公式和余弦定理。2的内角的对边分别为，若的面积为，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：利用面积公式和余弦定理进行计算可得。详解：由题可知所以由余弦定理所以故选C.点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理。3在中，则A. B. C. D. 【答案】A点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.4已知锐角的三个内角的对边分别为，若，则的值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：由、倍角公式和正弦定理得，故，根据是锐角三角形可得，于是可得所求范围详解：，由正弦定
4、理得，是锐角三角形，解得，即的值范围是点睛：三角形中的最值问题，一般利用正、余弦定理将变化为角，转化为三角函数的最值问题求解，解题过程中要注意角的取值范围，如在本题中要通过“锐角三角形”这一条件得到角A的取值范围5在中，内角，所对的边分别为，若，则角（ ）A. B. C. 或 D. 或【答案】D【解析】分析：由正弦定理得，即，又由，得，所以或，分类讨论即可求解角的大小.详解：因为，由正弦定理得，即，由，得，所以或，当时，；当时，由余弦定理得，所以，综上所述：或.点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用
5、“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.6已知，为平面向量，若与的夹角为，与的夹角为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：根据复数运算的平行四边形法则，画出平行四边形表示向量，利用正弦定理即可求出结果.详解：如图所示在平行四边形中，在中，由正弦定理可得，故选D.点睛：本题主要考查平面向量的运算法则及几何意义、正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两
6、边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.7设，分别为双曲线：的左、右焦点，为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线某条渐近线于、两点，且满足：，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：先求出点M，N的坐标，再利用余弦定理求出之间的关系，即可得出双曲线的离心率详解：由题意得圆的方程为，不妨设双曲线的渐近线为设点M的坐标为，则点N的坐标为，由解得或，又，在中，由余弦定理得即，化简得，故选C点睛：求椭圆离心率或其范围的方法(1)求的值，根据直接求
7、解(2)将条件中的几何关系用表示出来，得到含有的方程(或不等式)，借助于消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解8在中，角，所对的边分别为，且是和的等差中项，则周长的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：由得B角是钝角，由等差中项定义得A为60，再根据正弦定理把周长用三角函数表示后可求得范围详解：是和的等差中项，又，则，从而，所以的周长为 ，又，故选B点睛：本题考查解三角形的应用，解题时只要把三角形周长利用正弦定理用三角函数表示出来，结合三角函数的恒等变换可求得取值范围解题易错的是向量的夹角是B角的外角，而不是B角，要特别注意向量夹角的定义9在中，内角所对的边分
8、别是，若，则角的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到10已知锐角的内角为，点为上的一点，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：中，由余弦定理可得，中，由正弦定理得，根据极限位置，可得当时，当时，从而可得的取值范围.详解：中，由余弦定理可得， ，中，由正弦定理得，得，当时，当时，为锐角
9、三角形，的取值范围为，故选A.点睛：本题主要考查余弦定理、正弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.11已知的面积为，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：由题意知的面积为，且，得，再由均值不等式，即可求解的最小值.点睛：本题主要考查了均值不等式求最小值和三角形的面积公式的应用，其中解答中熟记均值不等式的使用条件，以及等号成立的条件是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.12已知的内
10、角的对边分别是，且，则角（ ）A. 30 B. 45 C. 60 D. 90【答案】C【解析】分析：由余弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得2cosCsinC=sinC，结合sinC0，可求cosC=，结合范围C（0，），可求C=.详解：ABC中，（a2+b2c2）（acosB+bcosA）=abc，由余弦定理可得：2abcosC（acosB+bcosA）=abc，2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，2cosCsin（A+B）=sinC，2cosCsinC=sinC，sinC0，cosC=，又C（0，），C=点睛：（1）在三角形中根据已知条件求未知的边或角时，
11、要灵活选择正弦、余弦定理进行边角之间的转化，以达到求解的目的（2）求角的大小时，在得到角的某一个三角函数值后，还要根据角的范围才能确定角的大小，这点容易被忽视，解题时要注意13中，的对边分别为.已知 ，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析:先化简 得到，再化简得解.详解:因为 ,所以所以所以因为,所以所以故答案为：B点睛：（1）本题主要考查三角恒等变换，考查解三角形，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理转化能力. （2）三角恒等变换方法：三看（角、名、式）三变（变角、变名、变式）.14的内角的对边分别为,已知 ，则为（ ）A. B. C. D. 【答案】B点睛
12、：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到15在中，则的值为（ ）A. B. C. 或 D. 或【答案】D【解析】分析：在中，由正弦定理，得，即可得到角，进而得到结论详解：由题意，由正弦定理，则有，因为，所以或，当时，当时，故选D点睛：本题主要考查了正弦定理解三角形，着重考查了推理与运算能力，试题比较基础，属于基础题16在中，点，分别是边，上的点，且，记，四边形的面
13、积分别为，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：设，又，所以，利用余弦定理和基本不等式求得，再利用三角形的面积公式，即可求解结果详解：设，因为，所以，所以，又，所以，当且仅当时等号成立，所以，故选C点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到17在中，的面积为2，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C点睛：本题主要考查了利用均值不等式求最值，及正弦定理和三角形面积公式的应用，其中解答中利用正弦定理，构造乘积为定值，利用均值不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及构造思想的应用18在中，点在边上，且，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：由余弦定理可求的值，再由余弦定理可求，可得，从而可得，求得，进而中，由正弦定可解求得的值.详解：，可得，可得，可得，中，由正弦定理可得，；中，由正弦定理可得，解得，故选D.点睛：以三角形和平面向量为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度
