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1、第六章有限长脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计本章主要内容线性相位FIR数字滤波器的特点用窗函数法设计FIR滤波器用频率采样法设计FIR滤波器线性相位数字滤波器的实现方法1:设计满足幅度指标要求的IIR滤波器,再加线性相位校正网络（如全通网络）；设计复杂，成本高;方法2：用FIR滤波器的设计方法，幅度特性满足技术要求，又保证严格的线性相位。6.1线性相位FIR数字滤波器的特点h(n)是FIR滤波器的单位脉冲响应，长度为N,则其系统函数为:NH二工 h(n)znn=00收敛域包括单位圆；o z平面上有个零点;是阶极点；特点：FIR滤波器永远稳定和容易实现线性相位一、线性相位条件对于长度为N的h(
2、n),传输函数为:NH(ejG)=工 h(n)e-ja)n =H (co” 严n=0h(o)称为幅度函数，e(co)称为相位函数注意：-H(co)为3的实函数，可能取负值; IH(eJ-)淋为幅度响应，总是正值1、什么是线性相位线性相位是指0（O）是3的线性函数，即:6(3)= TCO, P为常数;第一类线性相位0(co)=0oTCO, %是起始相位但上两种情况都满足群时延是一个常数dco2、第一类线性相位条件2、第一类线性相位条件h(n)是以(N-l)/2偶对称实序列，即:h(n) = h(N-n-l)N为奇数的情况h(n)N-l2N为偶数的情况3、第二类线性相位条件h(n)是以(N-l)/
3、2奇对称实序列，即：h(n) = - h(N_n_l)3、第二类线性相位条件3、第二类线性相位条件h(n)h(n)110N-n2N为偶数的情况N为奇数的情况4、第一类线性相位特点一（N加一 1） 丿(HeJCO) = e龙 g)cos( n=O2)力N-lA-lH(z) =工 乙 11 - V Zz(N-卅 一 1)厂=/z(m)zn=0厶兀=n?=0N_=严刊工h(m)F = pgH(小m=01 N_n_ v-ivN-lN_H2心)L+hF*)山厂+广2 go怎 2将se抑代入上式，得到：4、第一类线性相位特点HO) = f /z(m)cos(一仪二&(69)= (7V - 1)0第二类线牲
4、相位条件证明第二类线牲相位条件证明N-lN-lN_H=工 h(n)z-n = -E h(N - n -1)7= _工 h(m)z(N，nl)第二类线牲相位条件证明n=0m=0N=-厂心)工 h(m)zm = Z(Nl)H(z)n=0i N-l_N- y-iH(z)=牙工 h(n)z，J -z(Nl)zn= z 2 工L n=0=01 -心 hWz 2N1n乙2 (n77=0 2)1柏住函数导 塢丈 他sin（上二L”）n=O21兀&(劲=(N 1血+ 第一类相位函数条件山(n)偶对称第二类相位函数条件:h(n)奇对称如)=一(N 1)。2二、线性相位FIR滤波器幅度函数的特点1、h(n)=h(
5、N-n-l), N二奇数由前面推导的幅度函数H )为：匕N 1H(3)=2 /1(71)COS(77)/n=02特点： h(n)对(N-l)/2偶对称，余弦项也对(N-l)/2偶对称；以(N-l)/2为中心，把两两相等的项进行合并，因N为奇数，余下中间项n=(N-l)/2H(co) #(号)+(AT/n=02A(w)cos(az-N_T)q令 m=(N-l)/2-n=h(N-l2(Nl)/2)+ zm=l-772)cos(N-1)/2=Y a (n) cos 伽n=0N 1tv 1N 1WT2,3,，丁其中 a(0) = /?( 2)，。(兀)=2/?(厂(N_l)/2H (co)=工 an)
6、coscDnn=0幅度函数特点: 式中coscon项对co =0,兀，2兀皆为偶对称，则幅度特性对3 =0, 兀，2兀是偶对称的。(2)可实现所有滤波特性(低通、高通、带通、带阻)。2、h(n)=h(N-n-l), N=偶数推导情况和前面N为奇数相似，不同点是由于N为偶数，Hs(co) 中没有单独项，相等的项合并成N/2项。上-1nn ?n H(co) G)cosS)=工 2h(n) cos o)(一 n)77=02/7=o2令 m=N/2-nN/2=zmN12h(m)cos(m )N/2工 b(n) cosco(n -其中：NNb(n) = 2h(-n),n = 1,2,-n=严）N/2H(
7、co)附)COS(X)0z) n=2当o=冗时，故H （冗）=0,即H在4-1处，有一零点； 由于cosco（n-）对w=tc奇对称，所以H（3）在3 =兀呈奇对称;（3）用这种滤波器设计方法不能实现高通、带阻滤波器；3、h(n)=-h(N-n-l), N二奇数 由前面推导的幅度函数可得:N1H(co) = h(n)sina)(77=0由于h(n)=-h(N-n-l),当n=(N-l)/2时:N -1N -1N -1 K r/xT 1 ah( ) = -h(N-1) =*h(N-l)/2=0厶厶厶h(n)和正弦项都对(Nl)/2奇对称，相同项合并，共合并(N-l)/2项。(N-3)/2H=Jh
8、(n) Sing( 口 - n)令m=(Nl)/2nn = 02(Nl)/2二工 c()sin 伽c(n) = 2/?(2n=(N1)/2H(co)=工 c(n) sin conn-幅度函数H（3）在3 =0,仏2兀呈奇对称。H（3）在3=0、兀、2兀处值为0,即H零点在卩1处，只能 实现带通滤波器；4 h(n)=-h(N-n-l), N=偶数N-lN1H (co) = 力()sin|/y(n=0J2-n) =2/z(n) sin/?=0令：m=N/2-n,则有：N【2nH(co)=工 2/z(m) sin(D (m )m=N/2= d(n)sina)(n)n=2d(n) = 2/i(y ),
9、 = 1,2,3 N/2H(o)二工n-J(n)sin(y(n-)幅度特点:I H(fiO)由于sin3(m%)在3=0、2兀处都为0，因此H (co)在3=0, 2兀处也 为0, H在z处为零点；不能实现低通、带阻滤波器。由于sinco(n-)在3 =0、2兀处都呈奇对称，对 =兀呈偶对称， 故幅度函数H(co)在3 =0, 2兀也呈奇对称，在3 =兀处呈偶对称。三、零点位置第一类和第二类线性相位的系统函数综合起来用下式表示:表明: 如果z=Zi是H的零点，则z=zi也是H的零点。由于h(n)为实序列，零点必定共轨成对。则呼和(窣尸也是H的零点；即H的零点必定互为倒数的共轨对。分析: 当勺不
10、在实轴上，不在|刃=1上则零点 是互为倒数的两组共轨对；确定了一个零 点，其它三个确定了。当坷不在实轴上，但在lzl=l,由于共轨对的倒数是它们本身，故此时零点是一组共轨对；(3)召在实轴上，不在lzl=l上则零点是(4)坷在实轴上也在lzl=l,则零点只有一个，或位于或位于z = -l。互为倒数两个实数零点；例：如果系统的单位脉冲响应为冰：r 1, 0n 5 h(n) = iI 0,其他n(1) 判断该系统是否具有线性相位，说明理由。求出该系统的频率响应，画出幅度、相位和群时延特性曲线。6.2用窗函数法披it FIR滤波器-S扱计思想设希望设计的滤波器传输函数为Hd（ej3）, hd（n）是
11、与其对应的单位脉冲响应，因此:00工h加仙I Un)-|2龙1问题：一般情况下Hd（e）是逐段恒定的，在边界频率处有不连续 点，所以hd（n）是无限时宽，且为非因果，这样的系统不能实现。例：一理想低通滤波器的传输函数Hd3）为為(占)=八0卜叭I 7V相应的单位脉冲响应hd（n）为2龙 J-%-加z .eJdw = _2兀ejw(n-a)j(n-a)wcsinWc（一a）7r(n-a)t |Hd(e)hd(n)-(jDc 0hd（n）是无限时宽，非因果序列要求:得到一因果序列h(n)；(2)构造一个长度为N的线性相位滤波器;将hd(n)截取一段，并保证截取的一段对(Nl)/2对称(线性相位)o7 z、 sin(XS_a)设截取的一段用h(n)表示，即h(n)=hd(n)RN(n)矩形窗的长度为N,且 a= (N-l)/2时，满足 上述两个要求。N_丹二工h(n)znn=0二、Ml窗处理对FIR器幅頻特性的影响设计过程中，加窗后的单位响应序列为h(n)= hd (n) -RN(n) o即 用一个有限长的序列h (n)去代替一个无限长的序列hd (n),会产生误差，时域中是截断处理，在频域表现出的现象就是通带和阻带中 有波动，也称为吉布斯效应(截断效应)。这样设计出来的频响H(eJw)只能是尽量逼近要求的Hd (e)分析：频
