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1、第一章 行列式1 行列式的概念1 填空(1) 排列6427531的逆序数为 ，该排列为 排列。(2) = ， = 时， 排列1274569为偶排列。(3) 阶行列式由 项的代数和组成，其中每一项为行列式中位于不同行不同列的 个元素的乘积，若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列，那么列标构成一个元排列。若该排列为奇排列，则该项的符号为 号；若为偶排列，该项的符号为 号。(4) 在6阶行列式中， 含的项的符号为 ，含的项的符号为 。2 用行列式的定义计算下列行列式的值(1) 解： 该行列式的项展开式中，有 项不为零，它们分别为 ，所以行列式的值为 。(2) 解：该行列式展开式中唯一不可能为0的项
2、是 ，而它的逆序数是 ，故行列式值为 。3 证明：在全部元排列中，奇排列数与偶排列数相等。证明：元排列共有个，设其中奇排列数有个，偶排列数为个。对于任意奇排列，交换其任意两个元的位置，就变成偶排列，故一个奇排列与许多偶排列对应，所以有 ，同理得 ，所以 。4 若一个阶行列式中等于0的元素个数比多，则此行列式为0，为什么？5 阶行列式中，若负项的个数为偶数，则至少为多少？（提示：利用3题的结果）6 利用对角线法则计算下列三阶行列式（1） （2）2 行列式的性质1 利用行列式的性质计算系列行列式。 (1) (2) (3) 2 证明下列恒等式 (1) （提示：将行列式按第一列分解为两个行列式之和，再
3、利用性质证明）(2) (3) (提示：从最后一列起，后列的倍加到前一列)3 已知四阶行列式D的第三行元素分别为：；第四行元素的对应的余子式依次是2，10，4，求的值。4 已知1365，2743，4056，6695，5356能被13整除，证明：能被13整除。（提示：注意观察行列式中第2，3，4，5列元素的特点）5 已知，求：(1) ；(2) 和。 （提示：利用行列式按行（列）展开的性质计算）6 设，求的根。解1：首先，行列式展开式中含项，所以有四个根。而通过观察，将代入行列式，行列式中均有两行元素相同，此时行列式值为0，即为根。然后，把所有列加到第一列上，可发现第四个根，计算如下：解2：（注意各
4、行元素之和相等，可计算的值后，求根。）3 行列式的计算1 利用三角行列式的结果计算下列阶行列式(1) （提示：注意各行（列）元素之和相等）(2) （提示：可考虑按第一行（列）展开）(3) （提示：可考虑第一行的倍加到各行，再化为三角行列式）2 用迭代法计算下列行列式(1) 解：按第一行（列）展开，得递推公式：= + 。于是 = = 。由此得： + + + 。(2) 。解：按第一行展开，有递推公式 + ，得递推公式： 同理可得： 联立与，解方程组得： 3 利用范德蒙行列式的结果计算下列行列式(1) ， （提示：利用行列式的性质，先化行列式为标准形式的范德蒙行列式，再利用范德蒙行列式的结果计算行列
5、式）(2) ，解：在行中提出因子，4构造辅助行列式法计算下列行列式(1) (缺行的范德蒙行列式)解：构造辅助范德蒙行列式，为中元素的余子式，而(2) 解：构造辅助行列式，则，而 5 用数学归纳法证明：证明：（1）时，等式显然成立； （2）假定等式对于小于阶的行列式成立； （3）（下证阶行列式成立） 由于， + （注：按最后一行（列）展开） = = 所以， 6 ，求 (提示：将所有行加到最后一行)3 克来姆（Cramer）法则1 用克来姆法则解下列方程组(1) (2) 2 当取何值时，方程组有非零解？第二章 矩 阵1矩阵的概念及运算1 判断正误（1）设为矩阵，为矩阵，若，则 与必为同阶方阵。 （
6、 ）（2）与为阶方阵，为实数，有。（ ）（3）与为阶方阵， 。 （ ）（4）与为阶方阵，。 （ ）（5）为阶方阵，。 （ ）（6）与为阶方阵，。 （ ）（7）为阶方阵，。 （ ）（8）与为阶方阵， 。 （ ）（9）与为阶方阵，。 （ ）2 选择题(1) 设均为阶方阵，则（ ） (A) （B） (C) (D) (2) 若为实对称矩阵，则的值（ ）(A) （B） (C) (D) 不能确定 （3）设为方阵，则为（ ）(A) （B） (C) (D) 不能确定3 设，计算：(1)；(2) ；(3) 。4 计算。(提示：先计算出，以此归纳出，然后用数学归纳法证明结论)5 设为阶方阵，若对任意的维列向量，均
7、有，证明：。(提示：由于维列向量的任意性，考察维列向量，证中各元素为0)6 设为实对称矩阵，若，证明。(提示：证中各元素为0)7 若为阶方阵，且满足。 若，求。(提示：先证明)8 试证：若为奇数阶方阵，且满足，则。(提示：先证明)9 若为奇数阶反对称方阵，证明：。 (提示：由反对称阵的定义证明)10 设都是对称矩阵，证明：为对称矩阵的充要条件是。11 设阶方阵，且与的各行元素之和为1，是矩阵，且每个元素都为1，求证：(1) ；(2) 的各行元素之和都等于1；(3) 若各行元素之和分别为，则的各行元素之和都等于什么？2 逆矩阵1 判断正误(均为阶方阵)(1) 。 ( )(2) 。 ( )(3)
8、为阶方阵。则或。 ( )(4) 。 ( )(5) ，。 ( )(6) 。 ( )2 填空(1) 设，则 ， ，= 。 (2) 设为3阶方阵，且，则= ，= ，= ，= 。(3) 已知，则= 。(4) 设，则= 。3 设，证明：。 (提示：证明)4 设方阵满足，证明：及都可逆，并求其逆矩阵。 （提示：利用可逆的定义证明）5 设是阶方阵，证明：(1) 若，则；(2) ；(3) 。 （提示：凡是与伴随矩阵有关的结论，可先考虑等式）6 设阶非零方阵的伴随矩阵为，且=，求证：。 (提示：可考虑用反证法证明)7 设是阶方阵，如有非零矩阵使，则。8 设均为阶可逆方阵，求。3 分块矩阵1 设，利用分块矩阵计算
9、。2 设，(1) 利用分块矩阵求；(2) 计算。3 设均为阶方阵，令(1) 证明可逆的充要条件是均可逆；(2) 设，使，求出；(3) 当可逆时，求出。4 设，利用矩阵分块求。5 设为阶可逆方阵，为矩阵，为常数，(1) 计算；(2) 证明：可逆的充要条件是。6 设为4阶矩阵，且，把按列分块为，其中是的第列，求。 (提示：根据行列式的性质计算)4 矩阵的初等变换1 把矩阵化为阶梯形和简单阶梯形。2 利用初等变换求逆矩阵，。3 利用初等变换求解下列矩阵方程（1） （2）4 已知，用初等变换求，并计算的所有代数余子式之和。(提示：利用，可求)5 矩阵的秩1 判断正误(1) 若为矩阵，则。 ( )(2) 若，则的所有的阶子式都不为0，而所有的阶子式都为0。
