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1、第一章 行列式1 行列式的概念1 填空(1) 排列6427531的逆序数为 ,该排列为 排列。(2) = , = 时, 排列1274569为偶排列。(3) 阶行列式由 项的代数和组成,其中每一项为行列式中位于不同行不同列的 个元素的乘积,若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列,那么列标构成一个元排列。若该排列为奇排列,则该项的符号为 号;若为偶排列,该项的符号为 号。(4) 在6阶行列式中, 含的项的符号为 ,含的项的符号为 。2 用行列式的定义计算下列行列式的值(1) 解: 该行列式的项展开式中,有 项不为零,它们分别为 ,所以行列式的值为 。(2) 解:该行列式展开式中唯一不可能为0的项
2、是 ,而它的逆序数是 ,故行列式值为 。3 证明:在全部元排列中,奇排列数与偶排列数相等。证明:元排列共有个,设其中奇排列数有个,偶排列数为个。对于任意奇排列,交换其任意两个元的位置,就变成偶排列,故一个奇排列与许多偶排列对应,所以有 ,同理得 ,所以 。4 若一个阶行列式中等于0的元素个数比多,则此行列式为0,为什么?5 阶行列式中,若负项的个数为偶数,则至少为多少?(提示:利用3题的结果)6 利用对角线法则计算下列三阶行列式(1) (2)2 行列式的性质1 利用行列式的性质计算系列行列式。 (1) (2) (3) 2 证明下列恒等式 (1) (提示:将行列式按第一列分解为两个行列式之和,再
3、利用性质证明)(2) (3) (提示:从最后一列起,后列的倍加到前一列)3 已知四阶行列式D的第三行元素分别为:;第四行元素的对应的余子式依次是2,10,4,求的值。4 已知1365,2743,4056,6695,5356能被13整除,证明:能被13整除。(提示:注意观察行列式中第2,3,4,5列元素的特点)5 已知,求:(1) ;(2) 和。 (提示:利用行列式按行(列)展开的性质计算)6 设,求的根。解1:首先,行列式展开式中含项,所以有四个根。而通过观察,将代入行列式,行列式中均有两行元素相同,此时行列式值为0,即为根。然后,把所有列加到第一列上,可发现第四个根,计算如下:解2:(注意各
4、行元素之和相等,可计算的值后,求根。)3 行列式的计算1 利用三角行列式的结果计算下列阶行列式(1) (提示:注意各行(列)元素之和相等)(2) (提示:可考虑按第一行(列)展开)(3) (提示:可考虑第一行的倍加到各行,再化为三角行列式)2 用迭代法计算下列行列式(1) 解:按第一行(列)展开,得递推公式:= + 。于是 = = 。由此得: + + + 。(2) 。解:按第一行展开,有递推公式 + ,得递推公式: 同理可得: 联立与,解方程组得: 3 利用范德蒙行列式的结果计算下列行列式(1) , (提示:利用行列式的性质,先化行列式为标准形式的范德蒙行列式,再利用范德蒙行列式的结果计算行列
5、式)(2) ,解:在行中提出因子,4构造辅助行列式法计算下列行列式(1) (缺行的范德蒙行列式)解:构造辅助范德蒙行列式,为中元素的余子式,而(2) 解:构造辅助行列式,则,而 5 用数学归纳法证明:证明:(1)时,等式显然成立; (2)假定等式对于小于阶的行列式成立; (3)(下证阶行列式成立) 由于, + (注:按最后一行(列)展开) = = 所以, 6 ,求 (提示:将所有行加到最后一行)3 克来姆(Cramer)法则1 用克来姆法则解下列方程组(1) (2) 2 当取何值时,方程组有非零解?第二章 矩 阵1矩阵的概念及运算1 判断正误(1)设为矩阵,为矩阵,若,则 与必为同阶方阵。 (
6、 )(2)与为阶方阵,为实数,有。( )(3)与为阶方阵, 。 ( )(4)与为阶方阵,。 ( )(5)为阶方阵,。 ( )(6)与为阶方阵,。 ( )(7)为阶方阵,。 ( )(8)与为阶方阵, 。 ( )(9)与为阶方阵,。 ( )2 选择题(1) 设均为阶方阵,则( ) (A) (B) (C) (D) (2) 若为实对称矩阵,则的值( )(A) (B) (C) (D) 不能确定 (3)设为方阵,则为( )(A) (B) (C) (D) 不能确定3 设,计算:(1);(2) ;(3) 。4 计算。(提示:先计算出,以此归纳出,然后用数学归纳法证明结论)5 设为阶方阵,若对任意的维列向量,均
7、有,证明:。(提示:由于维列向量的任意性,考察维列向量,证中各元素为0)6 设为实对称矩阵,若,证明。(提示:证中各元素为0)7 若为阶方阵,且满足。 若,求。(提示:先证明)8 试证:若为奇数阶方阵,且满足,则。(提示:先证明)9 若为奇数阶反对称方阵,证明:。 (提示:由反对称阵的定义证明)10 设都是对称矩阵,证明:为对称矩阵的充要条件是。11 设阶方阵,且与的各行元素之和为1,是矩阵,且每个元素都为1,求证:(1) ;(2) 的各行元素之和都等于1;(3) 若各行元素之和分别为,则的各行元素之和都等于什么?2 逆矩阵1 判断正误(均为阶方阵)(1) 。 ( )(2) 。 ( )(3)
8、为阶方阵。则或。 ( )(4) 。 ( )(5) ,。 ( )(6) 。 ( )2 填空(1) 设,则 , ,= 。 (2) 设为3阶方阵,且,则= ,= ,= ,= 。(3) 已知,则= 。(4) 设,则= 。3 设,证明:。 (提示:证明)4 设方阵满足,证明:及都可逆,并求其逆矩阵。 (提示:利用可逆的定义证明)5 设是阶方阵,证明:(1) 若,则;(2) ;(3) 。 (提示:凡是与伴随矩阵有关的结论,可先考虑等式)6 设阶非零方阵的伴随矩阵为,且=,求证:。 (提示:可考虑用反证法证明)7 设是阶方阵,如有非零矩阵使,则。8 设均为阶可逆方阵,求。3 分块矩阵1 设,利用分块矩阵计算
9、。2 设,(1) 利用分块矩阵求;(2) 计算。3 设均为阶方阵,令(1) 证明可逆的充要条件是均可逆;(2) 设,使,求出;(3) 当可逆时,求出。4 设,利用矩阵分块求。5 设为阶可逆方阵,为矩阵,为常数,(1) 计算;(2) 证明:可逆的充要条件是。6 设为4阶矩阵,且,把按列分块为,其中是的第列,求。 (提示:根据行列式的性质计算)4 矩阵的初等变换1 把矩阵化为阶梯形和简单阶梯形。2 利用初等变换求逆矩阵,。3 利用初等变换求解下列矩阵方程(1) (2)4 已知,用初等变换求,并计算的所有代数余子式之和。(提示:利用,可求)5 矩阵的秩1 判断正误(1) 若为矩阵,则。 ( )(2) 若,则的所有的阶子式都不为0,而所有的阶子式都为0。