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1、节水洗衣机 摘要目前洗衣机已非常普及，节约洗衣机用水十分重要。假设在放入衣物和洗涤剂后洗衣机的运行过程为：加水-漂水-脱水-加水-漂水-脱水加水-漂水-脱水。本文中通过建立数学规划模型，计算在某种情况下洗衣机的最少用水量，并为洗衣机设计一种运行程序，其中包括运行多少轮和加水量等，使得在满足一定洗涤效果的条件下，洗衣机洗衣总用水量最少。然后经过系列的变量替换等操作优化数学模型，让过程更加简方便计算和操作。最后选用合理的数据进行计算，并对照目前常用的洗衣机的运行情况，对此模型和结果作出评价。关键词：洗衣机用水；数学规划；优化模型目 录1问题分析.11.1 背景意义和构想11.2洗衣机的基本原理和过
2、程11.3 “节水洗衣机”要点分析12问题建模.22.1 基本假设 . .22.2 变量定义.22.3模型建立.32.4 优化模型.33分析与求解.43.1最少洗衣轮数.43.1算法.53.1实例验证.5参考文献.61 问题分析1.1 背景意义与构想我国淡水资源有限，节约用水人人有责，洗衣在家庭用水中占有相当大的份额；目前洗衣机已非常普及，节约洗衣机用水十分重要。假设在放入衣物和洗涤剂后洗衣机的运行过程为：加水-漂水-脱水-加水-漂水-脱水加水-漂水-脱水（称“加水-漂水-脱水”为运行一轮）。请为洗衣机设计一种程序（包括运行多少轮，每轮加水量等），使得在满足一定洗涤效果的条件下，总用水量最少。
3、在实际生活中，衣服的洗涤是一个十分复杂的物理化学过程。洗衣机的运行过程可以理解为洗涤剂溶解在水中，通过水进入衣物并与衣物中的污物结合，再经过一定时间的漂洗后，它在水中与衣物中的分配达到条件。经过脱水去除了溶于水中的洗涤剂和洗涤剂与污物的结合物，之后再注入清水进入下一轮的洗涤过程，如此反复，最终使衣物中的有害物质逐渐减少到满意程度为止。不论人工洗衣还是洗衣机洗衣，都存在节水问题，显然，若用水量为零，则衣服肯定洗不净；若用水量为无穷大，则肯定浪费水，因此必然存在刚好“洗净”衣物的“最少”用水量。机器能够比人更精确地控制洗衣过程，所以提出“节水洗衣机”问题。1.2 洗衣机的基本原理和过程洗衣的基本原
4、理就是将吸附在衣物上的污物溶于水中，通过脱去污水而带走污物。“溶污物-脱污水”是由两个根本要素构成的一个“元动作”，无论是如何精心设计的洗衣方式和程序都是以此为基础的。洗衣的过程就是通过加水来实现上述“溶污物-脱污水”动作的反复执行，使得残留在衣物上的污物越来越少，直到满意的程度。通常洗衣要加入洗涤剂，它帮助溶解污物。但是洗涤剂本身也是不能留在衣物上的东西。因此“污物”应是衣物上原有污物与洗涤剂的总和。有了这种认识后，我们就可以统一地处理“洗涤”（即通常加洗涤剂的首轮洗衣）和“漂洗”（即通常的以后各轮洗衣，不再加洗涤剂，但水中还有剩余洗涤剂），把二者都看作“溶污物”环节。“脱污水”在洗衣机中通
5、常称为“脱水”，常由排水和甩干两个步骤组成。1.3 “节水洗衣机”要点分析立足于“溶污物-脱污水”这种基本原理，我们可以找出“节水洗衣机”问题的基本要点如下：1）污物的溶解情况如何？这里将用“溶解特性”来描述；2）每轮脱去污水后污物减少情况如何？这将由系统的动态方程表示；3）如何设计由一系列“溶污物-脱污水”构成的节水洗衣程序？这将通过用水程序来反映，也是我们最终需要的结果。2 问题建模2.1 基本假设 1）仅考虑离散的洗衣方案，即“加水-溶污物-脱污水”（以下称为“加水-洗涤-脱水”）三个环节是分离的，这三个环节构成一个洗衣周期，称为“一轮”；2）每轮用水量不能低于L，否则洗衣机无法转动；用
6、水量不能高于H，否则会溢出，设LH；3）每轮的洗涤时间是足够的，以便衣物上的污物充分溶入水中，从而使每轮所用的水被充分利用；4）每轮的脱水时间是足够的，以使污水脱出，即让衣物所含的污水量达到一个低限，设这个低限是一个大于0的常数C，设CL。5）除首轮外，每轮的“用水量”包括该轮加水量和衣物中上轮脱水后残留的水量，即残留水被自然地利用了。6）假设放入洗衣机的衣物重量看做是等重量的，即减少的衣物重量差异对用水量的影响。2.2 变量定义 1）设共进行n轮“加水-洗涤-脱水”的过程，依次为第0轮，第1轮，第n-1轮；2）第k轮用水量为（k=0，1，2，n-1）；3）衣物上的初始污物量为，在第k轮脱水后
7、仍吸附在衣物上的污物量为（k=0，1，2，n-1）。具体详细见下表：表示符号具体意义第k轮用水量第k轮脱水后仍在衣物上的污物量L洗衣机每轮用水量下限H洗衣机每轮用水量上限C每次脱水完毕后衣物上残留的污水量Q衣物上污物浸泡在水中的溶解率n洗衣轮数2.3 模型建立第k轮洗涤之后和脱水之前，第k-1轮脱水之后的污物量已成为两部分： ，k=0，1，2，n-1其中表示已溶入水中的污物，表示尚未溶入水中的污物量。与第k轮的加水量有关，总的规律是越大越大，且当=L时最小（=0，因为此时洗衣机处于转动临界点，有可能无法转动，该轮洗衣无效）；当=H时，最大（=Q，0Q1，其中Q称为“溶解率”）。因此简单地选用线
8、性关系表示这种溶解特性则有： 在第k轮脱水之后，衣物上尚有污物，有污水C，其中污水C中所含污物量为（/）C。于是第k轮完成之后衣物上尚存的污物总量为： 将前面的式子代入上式并整理后得系统动态方程：2.4 优化模型 由于是洗衣全过程结束后衣服上最终残留的污物量，而是初始污物量故/反映了洗净效果由系统动态方程得：又总用水量为 ：于是可得优化模型如下 其中代表对洗净效果的要求。若令：则：于是优化模型化为更简洁的形式 其中：3 分析与求解3.1 最少洗衣轮数 定义函数 易知 可见r（t）是区间0，1上的单调减函数，所以：第k轮的洗净效果为：由此不难得出n轮洗完后的洗净效果最多可达到：给定洗净效果的要求
9、，则应有：于是有：设为满足上式的最小整数，则最少洗衣轮数即为。3.2 算法可采用非线性规划算法，对（凭常识洗衣的轮数不应太多,比如取N=10已足够）进行枚举求解，然后选出最好的结果。其中是满足洗衣次数的最小整数。3.3 实例验证对某款洗衣机的参数查询，有C=1，H=5。假设衣物上污物的溶解率Q=0.5，则对于衣物洁净要求=0.05有n2.4882，即=3，于是：次数（轮）总用水量（升）3754815896101即对于一个特定的衣物洁净度，最佳的洗衣次数为3次。可见对于不同洗衣机的不同的参数值，洗衣机的节水程度均有差异。3.4 参考文献1刘国钧，王连成图书馆史研究M北京：高等教育出版社，1979：2徐萃薇.计算方法引论M.北京:高等教育出版社,19853同济大学数学教研室.高等数学(第3版)M.北京:高等教育出版社,19884苏金明等编.MATLAB工具箱应用M.北京:电子工业出版社,1988
