《中考数学压轴题专题04：三角形四边形存在性问题【裴培老师搜集】》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学压轴题专题04：三角形四边形存在性问题【裴培老师搜集】（66页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2012年全国中考数学压轴题分类解析汇编专题4：三角形四边形存在性问题30. （2012黑龙江龙东地区10分）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合，ABOC，AOC=90，BCO=45，BC=12，点C的坐标为（18，0）。（1）求点B的坐标；（2）若直线DE交梯形对角线BO于点D，交y轴于点E，且OE=4，OD=2BD，求直线DE的解析式；（3）若点P是（2）中直线DE上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q，使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。【答案】解：（1）过点B作BFx轴于F，在RtBCF中
2、BCO=45，BC=12，CF=BF=12 。 C 的坐标为（18，0），AB=OF=6。点B的坐标为（6，12）。（2）过点D作DGy轴于点G，OD=2BD，OD=OB。ABDG，ODGOBA 。 ，AB=6，OA=12，DG=4，OG=8。D（4，8），E（0，4）。设直线DE解析式为y=kx+b（k0） ，解得。直线DE解析式为y=x+4。（3）结论：存在。点Q的坐标为：（2 ，2 ），（2 ，2 ），（4，4），（2，2）。【考点】一次函数综合题，等腰直角三角形判定和性质，相似三角形判定和性质，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，菱形的判定和性质。【分析】（1）构造等腰直角三角形B
3、CF，求出BF、CF的长度，即可求出B点坐标。（2）已知E点坐标，欲求直线DE的解析式，需要求出D点的坐标构造ODGOBA，由线段比例关系求出D点坐标，从而可以求出直线DE的解析式。（3）如图所示，符合题意的点Q有4个：设直线y=x+4分别与x轴、y轴交于点E、点F，则E（0，4），F（4，0），OE=OF=4，EF=4。菱形OEP1Q1，此时OE为菱形一边。则有P1E=P1Q1=OE=4，P1F=EFP1E=44。易知P1NF为等腰直角三角形，P1N=NF=P1F=42。设P1Q1交x轴于点N，则NQ1=P1Q1P1N=4（42）=2。又ON=OFNF=2，Q1（2 ，2）。菱形OEP2Q2
4、，此时OE为菱形一边。此时Q2与Q1关于原点对称，Q2（2，2）。菱形OEQ3P3，此时OE为菱形一边。此时P3与点F重合，菱形OEQ3P3为正方形，Q3（4，4）。菱形OP4EQ4，此时OE为菱形对角线。由菱形性质可知，P4Q4为OE的垂直平分线，由OE=4，得P4纵坐标为2，代入直线解析式y=x+4得横坐标为2，则P4（2，2）。由菱形性质可知，P4、Q4关于OE或x轴对称，Q4（2，2）。综上所述，存在点Q，使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形，点Q的坐标为：Q1（2，2），Q2（2，2），Q3（4，4），Q4（2，2）。31. （2012黑龙江绥化10分）如图，四边形ABCD为矩形，
5、C点在x轴上，A点在y轴上，D点坐标是（0，0），B点坐标是（3，4），矩形ABCD沿直线EF折叠，点A落在BC边上的G处，E、F分别在AD、AB上，且F点的坐标是（2，4）（1）求G点坐标；（2）求直线EF解析式；（3）点N在x轴上，直线EF上是否存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）由已知得，FG=AF=2，FB=1。四边形ABCD为矩形，B=90。G点的坐标为（3，4）。（2）设直线EF的解析式是y=kx+b，在RtBFG中，BFG=60。AFE=EFG=60。AE=AFtanAFE=2tan60=2。
6、E点的坐标为（0，42）。又F点的坐标是（2，4）， 解得。直线EF的解析式为。（3）存在。M点的坐标为（），（），（ ）。【考点】一次函数综合题，矩形的性质，折叠性质，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质。【分析】（1）根据折叠性质可知FG=AF=2，而FG=ABAF=1，则在RtBFG中，利用勾股定理求出BG的长，从而得到CG的长，从而得到G点坐标。（2）由题意，可知AEF为含30度角的直角三角形，从而可求出E点坐标；又F点坐标已知，所以可利用待定系数法求出直线EF的解析式。（3）分FG为平行
7、四边形边和对角线两种情况讨论，探究可能的平行四边形的形状： 若以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形，则可能存在以下情形：FG为平行四边形的一边，且N点在x轴正半轴上，如图1所示。过M1点作M1Hx轴于点H，易证M1HN1GBF，M1H=GB=，即yM1=。由直线EF解析式，求出。M1（）。FG为平行四边形的一边，且N点在x轴负半轴上，如图2所示。仿照与相同的办法，可求得M2（）。FG为平行四边形的对角线，如图3所示。过M3作FB延长线的垂线，垂足为H易证M3FHGN3C，则有M3H=CG=4，所以M3的纵坐标为8。代入直线EF解析式，得到M3的横坐标为。M3（）。综上所述，存在点M，使以
8、M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形，点M的坐标为：M1（），M2（），M3（ ）。32. （2012黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西10分）如图，在平面直角坐标系中，已知RtAOB的两条直角边0A、08分别在y轴和x轴上，并且OA、OB的长分别是方程x27x+12=0的两根(OA0B)，动点P从点A开始在线段AO上以每秒l个单位长度的速度向点O运动；同时，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设点P、Q运动的时间为t秒(1)求A、B两点的坐标。(2)求当t为何值时，APQ与AOB相似，并直接写出此时点Q的坐标(3)当t=2时，在坐标平面内，是否存在点M，使以
9、A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）由x27 x +12=0解得x1=3，x2=4。 OAOB ，OA=3 , OB=4。A(0，3)， B(4，0)。 (2)由OA=3 , OB=4，根据勾股定理，得AB=5。由题意得，AP=t, AQ=52t 。分两种情况讨论：当APQ=AOB时，如图1，APQAOB。 ，即 解得 t= 。Q（）。当AQP=AOB时，如图2， APQABO。 ，即 解得 t= 。Q（）。（3）存在。M1（）， M2（），M3（）。【考点】动点问题，解一元二次方程，勾股定理，相似三角形的性质，平行四边
10、形的判定。【分析】（1）解出一元二次方程，结合OAOB即可求出A、B两点的坐标。 （2）分APQ=AOB和AQP=AOB两种情况讨论即可。（3）当t=2时，如图，OP=2，BQ=4，P（0，1），Q（）。 若以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形，则 当AQ为对角线时，点M1的横坐标与点Q的横坐标相同，纵坐标为。M1（）。 当PQ为对角线时，点M2的横坐标与点Q的横坐标相同，纵坐标为。M2（）。当AP为对角线时，点Q、M3关于AP的中点对称。由A(0，3)，P（0，1）得AP的中点坐标为（0，2）。由Q（）得M3的横坐标为，纵坐标为。M3（）。综上所述，若以A、P、Q、M为顶点的四边形是平
11、行四边形，则M点的坐标为（）或（）或（）。33. （2012湖北襄阳12分）如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax2+bx+c经过O，D，C三点（1）求AD的长及抛物线的解析式；（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与ADE相似？（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上
12、，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）四边形ABCO为矩形，OAB=AOC=B=90，AB=CO=8，AO=BC=10。由折叠的性质得，BDCEDC，B=DEC=90，EC=BC=10，ED=BD。由勾股定理易得EO=6。AE=106=4。设AD=x，则BD=CD=8x，由勾股定理，得x2+42=（8x）2，解得，x=3。AD=3。抛物线y=ax2+bx+c过点D（3，10），C（8，0），解得。抛物线的解析式为：。 （2）DEA+OEC=90，OCE+OEC=90，D
13、EA=OCE，由（1）可得AD=3，AE=4，DE=5。而CQ=t，EP=2t，PC=102t。当PQC=DAE=90，ADEQPC，即，解得。当QPC=DAE=90，ADEPQC，即，解得。当或时，以P、Q、C为顶点的三角形与ADE相似。（3）存在符合条件的M、N点，它们的坐标为：M1（4，32），N1（4，38）；M2（12，32），N2（4，26）；M3（4，），N3（4，）。【考点】二次函数综合题，折叠和动点问题，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质。【分析】（1）根据折叠图形的轴对称性，CEDCBD，
14、在RtCEO中求出OE的长，从而可得到AE的长；在RtAED中，AD=ABBD、ED=BD，利用勾股定理可求出AD的长进一步能确定D点坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式。 （2）由于DEC=90，首先能确定的是AED=OCE，若以P、Q、C为顶点的三角形与ADE相似，那么QPC=90或PQC=90，然后在这两种情况下，分别利用相似三角形的对应边成比例求出对应的t的值。（3）假设存在符合条件的M、N点，分两种情况讨论：EC为平行四边形的对角线，由于抛物线的对称轴经过EC中点，若四边形MENC是平行四边形，那么M点必为抛物线顶点。由得抛物线顶点，则：M（4，）。平行四边形的对角线互相平分，线段MN必被EC中点（4，3）平分，则N（4，）。EC为平行四边形的边，则ECMN，设N（4，m），则M（48，m+6）或M（4+8，m6）；将M（4，m+6）代入抛物线的解析式中，得：m=38，此时 N（4，38）、M（4，32）；将M（12，m6）代入抛物线的解析式中，得：m=26，此时 N（4，26）、M（12，32）。综上所述，存在符合条件的M、N点，它们的坐标为：M1（4，32），N1（4，38）；
