余数的性质及其计算

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1、word带余除法除法公式的应用【例 1】 某数被13除，商是9，余数是8，如此某数等于。【考点】除法公式的应用 【难度】1星 【题型】填空【关键词】2009年，希望杯，第七届，四年级，复赛，第2题，5分【解析】 125【答案】【例 2】 一个三位数除以36，得余数8，这样的三位数中，最大的是_。【考点】除法公式的应用 【难度】1星 【题型】填空【关键词】2008年，希望杯，第六届，四年级，复赛，第3题【解析】 因为最大的三位数为，所以满足题意的三位数最大为：【答案】【巩固】 计算口，结果是：商为10，余数为。如果的值是6，那么的最小值是_。【考点】除法公式的应用 【难度】1星 【题型】填空【关

2、键词】2005年，希望杯，第三届，五年级，复赛，第4题，6分【解析】 根据带余除法的性质，余数必须小于除数，如此有 的最小值为7。【答案】【例 3】 除法算式中，被除数最小等于。 【考点】除法公式的应用 【难度】1星 【题型】填空【关键词】2007年，第5届，希望杯，4年级，初赛，4题【解析】 此题的商和余数已经知道了，假如想被除数最小，如此需要除数最小即可，除数最小是，所以此题答案为：208+1+8=188.【答案】【例 4】 71427和19的积被7除，余数是几?【考点】除法公式的应用 【难度】1星 【题型】填空【关键词】第一届，华杯赛，初赛，第14题【解析】 71427被7除，余数是6，

3、19被7除，余数是5，所以7142719被7除，余数就是65被7除所得的余数2。【答案】【巩固】 在下面的空格中填上适当的数。【考点】除法公式的应用 【难度】2星 【题型】填空【关键词】2004年，第2届，走美杯，3年级，决赛，第10题，12分【解析】 此题的被除数、商和余数已经给出，根据除法的计算公式：被除数除数商余数，逆推计算得到：除数(2004713)742=27。【答案】【巩固】 写出全部除109后余数为4的两位数【考点】除法公式的应用 【难度】2星 【题型】解答【关键词】美国长岛，小学数学竞赛，第五届【解析】 因此，这样的两位数是：15；35；21【答案】两位数是：15；35；21【

4、例 5】 甲、乙两数的和是，甲数除以乙数商余，求甲、乙两数【考点】除法公式的应用 【难度】2星 【题型】解答【关键词】清华附中，小升初分班考试【解析】 (法1)因为 甲乙，所以 甲乙乙乙乙；如此乙，甲乙(法2)将余数先去掉变成整除性问题，利用倍数关系来做：从中减掉以后，就应当是乙数的倍，所以得到乙数，甲数【答案】乙数，甲数【例 6】 用某自然数去除，得到商是46，余数是，求和【考点】除法公式的应用 【难度】2星 【题型】解答【关键词】第五届，小数报，决赛【解析】 因为是的倍还多,得到，得，所以，【答案】，【例 7】 有三个自然数，除以，得商3余3；除以，得商9余11。如此除以，得到的余数是。【

5、考点】除法公式的应用 【难度】2星 【题型】填空【关键词】2010年，第8届，希望杯，5年级，初赛，第4题，6分【解析】所以应该余2。【答案】【例 8】 有两个自然数相除，商是，余数是，被除数、除数、商与余数之和为，如此被除数是多少？【考点】除法公式的应用 【难度】3星 【题型】解答【关键词】年，小学数学奥林匹克【解析】 被除数除数商余数被除数除数+17+13=2113，所以被除数除数=2083，由于被除数是除数的17倍还多13，如此由“和倍问题可得：除数=2083-1317+1=115，所以被除数=2083-115=1968【答案】1968【巩固】 两数相除，商4余8，被除数、除数、商数、余

6、数四数之和等于415，如此被除数是_【考点】除法公式的应用 【难度】3星 【题型】填空【关键词】2002年，小学数学奥林匹克【解析】 因为被除数减去8后是除数的4倍，所以根据和倍问题可知，除数为，所以，被除数为。【答案】324【例 9】 一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个自然数是_.【考点】除法公式的应用 【难度】3星 【题型】填空【关键词】2004年，市，迎春杯【解析】 设这个自然数除以11余，除以9余，如此有，即，只有，所以这个自然数为。【答案】84【例 10】 盒子里放有编号1到10的十个球，小红先后三次从盒子中共取出九个球，如果从第二次

7、起，每次取出的球的编号的和都比上一次的两倍还多一，那么剩下的球的编号为_。【考点】除法公式的应用 【难度】3星 【题型】填空【关键词】第五届，走美杯，四年级，初赛，第11题【解析】 令第1次取的编号为a，第二次取的编号为2a+1，第三次取的编号为：22a+1+1=4a+3；还剩下的编号为：55-7a-4=517a，当a为6时，余下的是9；当a为7时，余下的是2.【答案】或者【例 11】 10个自然数，和为100，分别除以3。假如用去尾法，10个商的和为30；假如用四舍五入法，l0个商的和为3410个数中被3除余l的有_个【考点】除法公式的应用 【难度】3星 【题型】填空【关键词】2008年，第

8、六届，走美杯，五年级，初赛，第13题【解析】 由题意，“用去尾法，10个商的和为30；用四舍五入法，l0个商的和为34”可知，10个数中除以3余2的数有34-30=4个，又知道10个自然数的和为100，设除以3余1的数有个，那么根据用去尾法后十个商的和与10个自然数的和，可得关系式：，解得，。【答案】【例 12】 除以某个整数后所得的商恰好是余数的倍，那么除数最小可能是。【考点】除法公式的应用 【难度】3星 【题型】填空【关键词】2008年，学而思杯，4年级，第2题【解析】 设除数为，商为，余数为，如此，且。可以将除式转化为，所以，所以和是的约数，在的约数中只有被除所得的余数为，所以，。【答案

9、】【例 13】 在大于2009的自然数中，被57除后，商与余数相等的数共有_个.【考点】除法公式的应用 【难度】4星 【题型】填空【关键词】2009年，第14届，华杯赛，初赛，第10题【解析】 根据题意，设这样的数除以57所得的商和余数都为aa57，如此这个数为57a+a=58a。所以58a2009，得到a200958=，由于a为整数，所以aa57，所以a最大为56，如此aa的值就对应一个满足条件的数，所以所求的满足条件的数共有56-35+1=22个。【答案】【例 14】 用1、9、8、8这四个数字能排成几个被11除余8的四位数？【考点】除法公式的应用 【难度】5星 【题型】填空【关键词】第二

10、届，华杯赛，初赛，第14题【解析】 用1、9、8、8可排成12个四位数，即1988，1898，1889，9188，9818，9881，8198，8189，8918，8981，8819，8891它们减去8变为1980，1890，1881，9180，9810，9873，8190，8181，8910，8973，8811，8883其中被11整除的仅有1980，1881，8910，8811，即用1、9、8、8可排成4个被1除余8的四位数，即1988，1889，8918，8819.【又解】什么样的数能被11整除呢？一个判定法如此是：比拟奇位数字之和与偶位数字之和，如果它们之差能被11除尽，那么所给的数就能

11、被11整除，否如此就不能够现在要求被11除余8，我们可以这样考虑：这样的数加上3后，就能被11整除了所以我们得到“一个数被11除余8”的判定法如此：将偶位数字相加得一个和数，再将奇位数字相加再加上3，得另一个和数，如果这两个和数之差能被11除尽，那么这个数是被11除余8的数；否如此就不是要把1、9、8、8排成一个被11除余8的四位数，可以把这4个数分成两组，每组2个数字其中一组作为千位和十位数，它们的和记作A；另外一组作为百位和个位数，它们之和加上3记作B我们要适当分组，使得能被11整除现在只有下面4种分组法：经过验证，第1种分组法满足前面的要求：A18，B98320，BA11能被11除尽但其

12、余三种分组都不满足要求根据判定法如此还可以知道，如果一个数被11除余8，那么在奇位的任意两个数字互换，或者在偶位的任意两个数字互换，得到的新数被11除也余8于是，上面第1分组中，1和8中任一个可以作为千位数，9和8中任一个可以作为百位数这样共有4种可能的排法：1988，1889，8918，8819答：能排成4个被11除余8的数【答案】【例 15】 科学家进展一项实验，每隔5小时做一次记录。做第十二次记录时，挂钟的时针恰好指向9，问做第一次记录时，时针指向几?【考点】找规律计算 【难度】3星 【题型】填空【关键词】第一届，华杯赛，初赛，第15题【解析】 从第一次记录到第十二次记录，相隔十一次，共

13、51155(小时)。时针转一圈是12小时，55除以12余数是7，972答：时针指向2。【答案】【例 16】 一筐苹果分成小盒包装，每盒装只，剩只；每盒装只，剩只。每盒装只，剩只。【考点】找规律计算 【难度】3星 【题型】填空【关键词】2008年，第6届，走美杯，4年级，决赛，第3题，8分【解析】 除以余的数从小到大为、，其中，所以除以余，除以余的数从小到大排列为、，其中，因此剩只或者只。【答案】或【巩固】 有一列数：1，3，9，25，69，517，其中第一个数是1，第二个数是3，从第三个数起，每个数恰好是前面两个数之和的2倍再加上1，那么这列数中的第2008个数除以6，得到的余数是【考点】找规

14、律计算 【难度】3星 【题型】填空【关键词】2008年，希望杯，第六届，五年级，初赛，第4题，6分【解析】 这列数除以6的余数有以下规律：1，3，3，1，3，3，1，3，3，因为，所以第2008个数除以6余1【答案】1【例 17】 有一串数：1，1，2，3，5，8，从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在这串数的前2009个数中，有几个是5的倍数？【考点】找规律计算 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2009年，走美，初赛，六年级【解析】 由于两个数的和除以5的余数等于这两个数除以5的余数之和再除以5的余数所以这串数除以5的余数分别为：1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0，1，1，2，3，0，可以发现这串余数中，每20个数为一个循环，且一个循环中，每5个数中第五个数是5的倍数由于，所以前2009个数中，有401个是5的倍数【答案】401【例 18】 将七位数“1357924重复写287次组成一个2009位数。删去这个数中所有位于奇数位上的数字；按上述方法一直删除下去直到剩下一个数字为止，如此最后剩下的数字是【考点】找规律计算 【难度】4星 【题型】解答【关键词】2009年，第14届，华杯赛，决赛，第3题【解析】 此题考察二进制，最后剩下的数是