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1、1.8 最小二乘估计一、选择题1过三点(3,10)，(7,20)，(11,24)的线性回归直线方程是()Ay1.755.75xBy1.755.75xCy5.751.75xDy5.751.75x答案C解析根据求线性回归方程的方法，利用公式可得到答案2抽测10只某种白炽灯的使用寿命x，结果如下(单位：h)：1067,919,1196,785，t,936,918,1156,920,918，若997，则t大约是()A1120B1124 C1155D1128答案C3在线性回归方程中，b表示()A当x增加一个单位时，y增加a的数量B当y增加一个单位时，x增加b的数量C当x增加一个单位时，y的平均变化量D当
2、y增加一个单位时，x的平均变化量答案C解析本题主要考查线性回归方程中a，b的含义4由一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)得到线性回归方程ybxa，那么下列说法中错误的是()A直线ybxa必经过点(，)B直线ybxa至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)中的一个点C直线ybxa的斜率为bD直线ybxa和各点(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)的偏差的平方和yi(bxia)2是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差的平方和中最小的答案B解析理解线性回归方程的真正含义因为ba，其中(x1x2xn)，(y1y2yn)，显然回归直线经过点(，)故A是正确的回
3、归直线最能近似刻画点(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)的变化趋势，但并不一定经过某些点故B是错误的对于C、D只需了解相应概念便会得出正确结论5下列叙述中：变量间关系有函数关系，还有相关关系；回归函数即用函数关系近似地描述相互关系；xix1x2xn；线性回归方程bxa中，b，ab；线性回归方程一定可以近似地表示所有相关关系其中正确的有()ABCD答案C解析利用直接法逐个判断可知，正确，而线性回归方程可以近似地表示具有线性相关关系，而不能表示其他相关关系6某化工厂为预测某产品的回收率y，需要研究它和原料有效成份含量x之间的相关关系，现取了8对观察值，计算得：xi52，yi228，x47
4、8，xiyi1849，则y与x的回归方程是()A.11.472.62x B.11.472.62xC.2.6222.47x D.11.472.62x答案A解析把题目所给的数据代入公式分别求系数a和b即可二、填空题7调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：0.254x0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加_万元答案0.254解析本小题主要考查了利用回归直线方程，对数据进行估计以x1代x，得0.254(x1)0.321，与0.254x0.321相
5、减可得，年饮食支出平均增加0.254万元8某商店统计了最近6个月某商品的进价x与售价y(单位：元)的对应数据如下：x3528912y46391214则_，_，x_，xiyi_，回归方程为_答案6.583273961.4x0.571解析根据公式代入即可求得，也可以利用计算器求得，6.5，8，x327，xiyi396，回归方程为1.4x0.571.9假设学生在初中的英语成绩和高一英语成绩是线性相关的现有10名学生的初中英语成绩(x)和高一英语成绩(y)如下：x74717268767367706574y76757170767965776272则由此得到的回归直线的斜率为_(保留到小数点后第4位)答案
6、1.2182解析求斜率即求回归方程中的b，按照公式进行即可，即需要依次计算出71，x50520，72.3，xiyi51467，所以b1.2182，所以斜率为1.2182.三、解答题10在10年期间，一城市居民的年收入与某种商品的销售额有如下数据：(1)画出散点图；(2)如果散点图中的各点大致分布在一条直线的附近，求y与x之间的线性回归方程解(1)散点图如图(2)由图可知，y与x线性相关，列表计算如下：所以b1.447，a39.11.44737.9715.843，因此，所求线性回归方程为y1.447x15.843.11PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物(也称可入肺颗粒物)，为了
7、探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某时间段车流量与PM2.5浓度的数据如下表：时间周一周二周三周四周五车流量x(万辆)100102108114116浓度y(微克/立方米)7880848890(1)根据上表数据，用最小二乘法求出y与x的线性回归方程；(2)若周六同一时段车流量是200万辆，试根据(1)求出的线性回归方程，预测此时PM2.5的浓度为多少？解(1)由条件可知，i108，i84，(xi)(yi)(8)(6)(6)(4)006486144，(xi)2(8)2(6)2026282200，b0.72，ab840.721086.24，故y关于x的线性回归方程为0.7
8、2x6.24.(2)当x200时，0.722006.24150.24.所以可以预测此时PM2.5的浓度约为150.24微克/立方米12某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：年份20102012201420162018需求量(万吨)236246257276286(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程bxa；(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2020年的粮食需求量解本题考查回归分析的基本思想及其初步应用、回归直线的意义和求法、数据处理的基本方法和能力，考查运用统计知识解决简单实际应用问题的能力(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来求回归直
9、线方程为此对数据预处理如下：年份201442024需求量257211101929对预处理后的数据，容易算得0，3.2，b6.5，ab3.2.由上述计算结果，知所求回归直线方程为257b(x2014)a6.5(x2014)3.2，即6.5(x2014)260.2.(2)利用直线方程，可预测2020年的粮食需求量为65(20202014)260.26.56260.2299.2(万吨)300(万吨)(未写近似值不扣分)13日常生活中，某些东西所含的热量比较高，对我们的身体有一定的影响，下表给出了不同类型八种饼干的数据，第一列数据表示八种饼干各含热量的百分比，第二列数据表示顾客对八种饼干所给予分数(百
10、分制)品种所含热量的百分比口味记录1258923489320804197852675620717196582462(1)求出回归直线方程；(2)关于两个变量之间的关系，你能得出什么结论？(3)为什么人们更喜欢吃位于回归直线上方的饼干而不是下方的饼干？解(1)先把数据列成表：由上表分别计算x，y的平均数得，代入公式得b1.037，a1.03671076.12524.233151.9.则回归直线方程1.037x51.9.(2)回归直线方程1.037x51.9中的回归系数b1.037，它的意义是热量比每增加一个百分比，口味记录平均增加1.037分(3)因为饼干所含有的热量百分比相同时，人们的满意率比较高；并且满意率相同时，位于回归直线上方的饼干所含热量百分比较低，人们比较喜欢吃热量百分比较低的食品所以人们喜欢吃位于回归直线上方的饼干
