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1、学科：数学教学内容：直线的倾斜角和斜率【基础知识精讲】课本从此节开始较系统地介绍平面直角坐标系内直线的表示及其性质的运用，建议同学们先复习一次函数的图像与性质， 以及正切函数的定义与性质， 向量的坐标表示，便于更好 地学习本节知识本节知识要点：1. 直线的方程和方程的直线的概念2. 直线的倾斜角的概念，倾斜角范围：0w aV 180 .3. 斜率的概念，k= tan a .（0 w a v 180 且 a 工 90 ）.4. 过两点的直线的斜率公式k = 丫2 - % .x25. 当直线不垂直于x轴时，其方向向量的坐标为（1 , k）.本节学习要求坐标系的建立，使得平面内的点和坐标、曲线和方程
2、等联系起来，为我们运用代数的方法研究几何问题架起了一座“桥梁”，达到了形和数的结合.坐标法是我们研究直线的一种重 要方法，也是广泛应用于其它领域的重要数学方法.本节的斜率公式就是通过直线上两点的坐标对直角坐标平面内的直线相对于x轴的倾斜程度的定量刻画.学习过程中注意体会数形结合的数学思想，逐步学会运用观察、分析、联想、转化等数学方法解决问题.【重点难点解析】本小节的重点是直线的倾斜角和斜率概念，过两点的直线的斜率公式，难点是斜率概念的学习和过两点的直线的斜率公式的建立1. 倾斜角和斜率都是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的.倾斜角是直接反映这种倾斜程度的，斜率等于倾斜角的正切值.2. 过两点
3、的直线的斜率公式是对斜率的定义式的坐标化.关于斜率公式，应弄清以下几点：（1）斜率公式与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的前后次序可以同时颠倒；（2）斜率公式表明，直线对于x轴的倾斜程度，可以通过直线上任意两点的坐标表示，而不需求出直线的倾斜角，因而，使用时较方便；（3）当X1 = X2,y1 y2（即直线和x轴垂直）时，直线的倾斜角a等于90,没有斜率；（4）当a = 0。时，k=tan a = 0,斜率公式仍 适用，只不过此时不必再用公式求得.例1经过两点（2 , 3）和（4 , -5）的直线的倾斜角是（）A. arctan4 B.arctan（-4） C.n -arctan
4、4D.n tantan4解：由斜率公式k= * 一 = 3 一（ 一5） = -4知，直线的倾斜角为钝角，因正切值为 -4x2 xi2 4的相应钝角是n -arctan4 ，故选C.例2 设直线的斜率为k ,且-.3k1 时，a = arcta n1m -12当m1 时，a = n -arctan1.m -1【难题巧解点拨】例1 (1)如果AC0且BCQ那么直线 Ax+By+C= 0不通过()A. 第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限A C解：直线方程可变形为 y = -x- B BC由BC0.B由AC0,BC0, AB0,故该直线的斜率k0，倾斜角为钝角作出该直线的示 意图知该直线不
5、经过第三象限，选C.(2)对于直线xcos a +y+1 = 0，其倾斜角v的取值范围是()jin兀3A.-,B.n 4444ji3nJlC.0,-U，二)D.0,一U:-,n )4442解:斜率为-cosa -1 ,1 选 C.过点A(-1 , 2)作直线l，使它在x轴、y轴上的截距相等，则这样的直线 ()A.只有1条B.只有2条C.只有3条D.共有4条解：过原点和斜率为-1的两条直线满足题意，选B.v + 2 例2 已知3x+5y+14 = 0,其中x -3 , 2,求：| 一 |的最小值X +1解：由已知得线段：3x+5y+14 = 0,x -3 , 2的两个端点 A(-3 , -1)
6、, B(2 , 4)，而|I可以看作线段AB上的点与点(-1 , -2)连线斜率的绝对值，记P(-1 , -2)，则 kPA=12,kpB=-,23当 3x+5y+14 = 0,x -3 , 2时,k= y 2 ,x x 12- -3，1:,.2| k | min12 *即I y 21I的最小值是一.x 12【命题趋势分析】本节考点为直线倾斜角的概念、范围，过两点的直线的斜率公式及简单应用，考题通常是与直线方程、三角函数的性质、公式等相联系的综合题预测考题：1. 如果AC0且BC0,0x ,4 2COS a tan 21 -cos：.1 cos：x-3y+1 = 0说明：求半角的正切值，根据
7、上所在象限确定符号，只取正值得一解.如果求出的tan2a = -3 或 tan a1=丄有二解，从而忽视了对a所在象限的讨论，不会舍去tan a = -3而多解.3【同步达纲练习】一、选择题1. 经过两点A丄 4 A.arcta n 3M(6, 8)、N(9, 4)的直线的倾斜角为 c丄4B. arccot34C.arcta n(-)32. 若图中的直线l1、D. n -arctanC.k3k2kiI2、)A.k1k2k3B.k3. 若三点A(3 , 1),A.2B.3iksk23k1k2C.k3k20,b0)的倾斜角是(A.arcta n(-)bC. n -arctanD.+arcta nb
8、2bTT5. 若a是直线的倾斜角，则Sin( a )的取值范围是()4A. C -1，二:242B. (-1 ,)2C.(-2222)yj2 忑D.-,)2 2二、填空题6. 若ab 3 或 k -443C.-4 k 45.过原点引直线I，使I与连接A(1 , 的取值范围是3D.- k 441)和B(1 , -1)两点的线段相交，则直线 I倾斜角6.已知 A(-3 sin 0 ,cos20 ),B(0,1)是相异两点，则直线AB的倾斜角的取值范围7.要使三点 A(2, cos2 0 ),B(sin 2 0 ,-),C(-4,-4)3共线，则角0的值为 2 28.已知直线(2a -7a+3)x+(a -9)y+3a=0的倾斜角为则实数a=【素质优化训练】1.已知点 M(rcos a ,rsin a ),N(rcos3 ,rsin 3 ),(- ),则直线MN的倾2斜角为(A.)Jl +CL + PC.a + P B.222. 若点 R(2 , 3) , P2(3 , a) , P3(4 ,A.a = 4,b = 5C.2a-b = 3D. a + 3 - nb)共线，则(B.b-a
