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1、全面认识抛物线的特征二次函数yax2bxc（a0）的图象及性质函数yax2bxc（a0）yax2bxc（a0）图象开口向上向下对称轴x顶点（，）增减性当x时，y随x的增大而减小，当x时，y随x的增大而增大当x时，y随x的增大而增大，当x时，y随x的增大而减小最值当x时，y最小当x时，y最大方法归纳：抛物线yax2bxc（a0）的顶点坐标和对称轴的求法：配方法：yax2bxca（x）2；公式法：对称轴是x，顶点坐标是（，）；画出抛物线，根据图象确定对称轴及顶点坐标。总结：1. 用配方法确定二次函数的顶点、开口方向和对称轴。2. 运用数形结合的思想求二次函数的最值。例题1 抛物线yax2bxc上部
2、分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x3201y6066从上表可知，下列说法正确的有（ ）抛物线与x轴的交点为（2，0）（2，0）；抛物线与y轴的交点为（0，6）；抛物线的对称轴是：直线x； 在对称轴左侧，y随x增大而减少。A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个解析：可将表格中的数据描在坐标系中，根据二次函数的图象和性质进行判断。答案：根据表格数据可得：抛物线的开口方向向下，当x0时，y6，故正确；x0和x1的函数值相等，对称轴为x，正确；从表格中可得（2，0）是此抛物线与x轴的一个交点，抛物线与x轴的另一个交点必与（2，0）关于直线x对称，所以，另一个交点的坐标为（3，0），错误；此抛
3、物线开口向下，所以在对称轴的左侧y随x的增大而增大，错误，故选B。点拨：此题主要考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的图象和性质，会根据图象得出某些信息，如抛物线的顶点、对称轴、开口方向等。另外，对于表格中的数据应善于将其转化为点的坐标，根据坐标特点确定函数关系式。例题2 已知抛物线yax2bx经过点A（3，3）和点P（t，0），且t0。（1）若该抛物线的对称轴经过点A，如图所示，请通过观察图象，指出此时y的最小值，并写出t的值；（2）若t4，求a、b的值，并指出此时抛物线的开口方向；（3）直接写出使该抛物线开口向下的t的一个值。解析：第（1）题观察图象即可，第（2）题已知t的值，相
4、当于已知点P的坐标，那么把点A和P的坐标代入解析式，通过解二元一次方程组求a、b的值。（3）题答案不唯一，把点A和P的坐标代入解析式整理出一个关于a和t的等式，令a0，确定t的取值。答案：（1）y的最小值是3，t6。（2）分别将（4，0）和（3，3）代入yax2bx，得，解得，此时抛物线开口向上。（3）依题意应满足，即at2（3a1）t0且a0。当t0时有at3a10，即a0，解得t3。所以写出一个大于3的t值即可。（答案不唯一）。点拨：本题主要考查二次函数的图象和性质，解答这类问题时注意数形结合思想的运用，抛物线与x轴的两个交点关于该抛物线的对称轴对称，解答时充分利用该性质有时可大大简化计算
5、。二次函数的增减性：在对称轴同侧的点，y随x的增大而增大（或减小）；不在对称轴同侧的点，若a0，则到对称轴的距离大的点的函数值较大，若a0，则到对称轴的距离大的点的函数值较小。例 已知两点A（5，y1），B（3，y2）均在抛物线yax2bxc（a0）上，点C（x0，y0）是该抛物线的顶点，若y1y2y0，则x0的取值范围是（ ）A. x05 B. x01 C. 5x01 D. 2x03解：由点C（x0，y0）是该抛物线的顶点，且y1y2y0，所以y0为函数的最小值，即得出抛物线的开口向上，因为y1y2y0，所以得出点A、B可能在对称轴的两侧或者是在对称轴的左侧，当A、B在对称轴的左侧时，y随x
6、的增大而减小，因此x03；当A、B在对称轴的两侧时，点B到对称轴的距离小于点A到对称轴的距离，即得x0（5）3x0，解得x01，综上所得：x01，故选B。分析：本题考查二次函数的图象和性质，特别是二次函数的增减性，解答这类问题时要格外注意分类讨论，关键是要讨论顶点的位置，即所给自变量或函数值所对应的点是否在对称轴的同侧。（答题时间：30分钟）一、选择题1. 在二次函数yx22x1的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（ ）A. x1B. x1C. x1D. x12. 若一次函数yaxb（a0）的图象与x轴的交点坐标为（2，0），则抛物线yax2bx的对称轴为（ ）A. 直线x1B.
7、直线x2C. 直线x1D. 直线x4*3. 二次函数yax2bxc图象上部分点的坐标满足下表：x32101y323611则该函数图象的顶点坐标为（ ）A. （3，3）B. （2，2）C. （1，3）D. （0，6）*4. 下列图中，哪个是二次函数y2x24x3的图象（ ）*5. 抛物线yx2xp（p0）的图象与x轴一个交点的横坐标是p，那么该抛物线的顶点坐标是（ ）A. （0，2）B. （，）C. （，）D. （，）*6. 已知二次函数y2x2bx1（b为常数），当b取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”，图中的实线型抛物线分别是b取三个不同的值时二次函数的图象，它们的顶点在一条抛物线上（图
8、中虚线型抛物线），这条抛物线的解析式是（ ）A. y2x21B. yx21C. y4x21D. yx21二、填空题7. 如果二次函数yax2bxc（a0）满足abc2，那么这个二次函数的图象一定经过点_。*8. 实数x、y满足x22x4y5，记tx2y，则t的取值范围为_。*9. 将二次函数y2（x1）21的图象先向右平移一个单位，再沿x轴翻折到第一象限，得到的图象的函数解析式为_。*10. 二次函数yax2bxc中，b2ac，且x0时y4，则该二次函数有最_值，且最_值等于_。三、解答题11. 将二次函数yx22x3的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，求平移后的抛物线的解析式（平移后
9、抛物线的形状不变）。12. 已知抛物线ymx2（m1）x（m1）的最低点的纵坐标是0，求m的值。13. 已知抛物线yx2bxc经过点A（3，0），B（1，0）。（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的顶点坐标。*14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2经过平移得到抛物线yx22x，求其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积。*15. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线ymx22mx2（m0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B。（1）求点A，B的坐标；（2）设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的解析式；（3）若该抛物线在2x1这一段位于直线l的上方，并且在2x3这一段位
10、于直线AB的下方，求该抛物线的解析式。一、选择题1. A 解析：二次函数yx22x1的开口向下，所以在对称轴的左侧y随x的增大而增大，二次函数yx22x1的对称轴是x1，所以x1。2. C 解析：一次函数yaxb（a0）的图象与x轴的交点坐标为（2，0），2ab0，即b2a，抛物线yax2bx的对称轴为直线x1。故选C。*3. B 解析：x3和1时的函数值都是3，二次函数的对称轴为直线x2，顶点坐标为（2，2）。故选B。*4. D 解析：由开口方向可排除B，由其与y轴的交点为（0，3）可排除C，再由对称轴为x1可排除A。*5. D 解析：因为该抛物线与x轴一个交点的横坐标是p，此时y0，所以p
11、2pp0，因为p0，所以p2，即yx2x2。其顶点坐标为（，）。*6. A 解析：y2x2bx1的顶点坐标是（，），设x，y，由x得b4x，所以y12x2。即这条抛物线的解析式为y2x21。二、填空题7.（1，2） 解析：当x1、y2时有abc2，所以这个二次函数的图象一定经过点（1，2）*8. t 解析：由x22x4y5得4yx22x5，所以tx（x22x5）x22x，可见，t是关于x的二次函数，且开口向下，t最大值，所以t的取值范围是t。*9. y2（x2）21 解析：向右平移一个单位得y2（x2）21，翻折可理解为两步，一是形状不变，顶点不变，开口变成向上，得y2（x2）21，二是向上平
12、移2个单位，得y2（x2）21。*10. 大，大，3 解析：x0时y4，c4，b2ac，a0，即此二次函数有最大值，最大值是3。三、解答题11. 解：因为yx22x3（x1）24，该图象向左平移1个单位再向下平移2个单位所得抛物线的解析式为y（x1）1）242x22。12. 解：由题意得，解得m1。13. 解：（1）抛物线yx2bxc经过点A（3，0），B（1，0）。，解得，抛物线的解析式为yx22x3；（2）抛物线的解析式为yx22x3（x1）24，抛物线的顶点坐标为（1，4）。*14. 解：设抛物线yx22x的顶点为B，其对称轴与x轴交于点C，过点B作ABy轴。抛物线yx22x（x24x）
13、（x24x4）2（x2）22，顶点B的坐标为（2，2）。由抛物线的对称性和平移规律可知，阴影部分沿OC截开正好能拼成正方形OABC，所以yx22x的对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为：224。*15. 解：（1）当x0时，y2，A（0，2）。抛物线的对称轴为x1，B（1，0）。（2）易得A点关于对称轴的对称点为A（2，2），则直线l经过A、B。设直线l的解析式为ykxb，则，解得，直线l的解析式为y2x2。（3）抛物线的对称轴为x1，抛物线在2x3这一段与在1x0这一段关于对称轴x1对称，结合图象可以观察到抛物线在2x1这一段位于直线l的上方，在1x0这一段位于直线l的下方；抛物线与直线l的交点的横坐标为1；当x1时，y2（1）24，则抛物线过点（1，4），所以当x1时y4，即m2m24，m2，抛物线的解析式为y2x24x2。8
