常微分方程习题集

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1、常微分方程测试题1、填空题 30%1、形如 的方程，称为变量分离方程，这里.八球1g）分别为x.y的连续函数。2、形如-的方程，称为伯努利方程， 这里汽灯QO）为工的连续函数由工。1是常数口引入变量变换，可化为线性方程03、如果存在常数工A Q使得不等式-对于所有礴成立称为利普希兹常数。函数八3）称为在R上关于尸满足利普希兹条件。4、形如-的方程，称为欧 拉方程，这里叫，内，是常数.5、设施）是父二a工的基解矩阵，吟是/ =业）/的某一解,则它的任一解尸可表为-0、计算题40% = 6、4的通解.1、求方程加 式2、求方程上工的通解。3、求方程炉刊“4$工:白却的隐式解。二l+y诞过点3,0）

2、的第三次近似解口4、求方程上三、证明题30%二 11上2 号1 .试验证。=-2-是方程组x = L2 _x,x=,在任何不包含原点的区间a二1三&上的基解矩阵。2 .设m）为方程x =Ax （A为nn常数矩阵）的标准基解矩阵（即 （0） =E）,证 明：与口尸中（t- t。）其中怛为某一值,常微分方程测试题2、填空题：（30%）1、曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项，则曲线所满足的 微分方程是.2、方程yr4、力（冗力连续是保证丁（二记对丁满足李普希兹条件的 条件. =so X- cosy5、方程也满足解的存在唯一性定理条件的区域是 .6、若 =妈 y =是二阶线性齐

3、次微分方程的基本解组，则它们（有或无）共同零点. - -三1的通解中含有任意常数的个数为 .3、方程（工J）北+抑= Q有积分因子出=里3）的充要条件为 7、设少白）二仁凶5）十？式工）十方）是方程1/+/+了 = 1的通解，则lim y（x）=靠fto8、已知MG）是二阶齐次线性微分方程式 +9八/+夙/=口的一个非零解，则与- -1线性无关的另一解9、设%是落阶常系数齐次线性方程特征方程的K重根，则该方程相应于 4的K个线性无关解是竺=犷10、线性微分方程组公的解乃，乃居是的基本解组的充要条件是二、求下列微分方程的通解：（40%）2力21、工丁二9一 A ax2、3一,3、4、/，一一二二

4、5、求解方程加仁3）、口.曲二？+/，赤了=0 我闻 1 Ivl i三、求初值问题L/1 以一的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计 .（10分）四、求解微分方程组5三工+2y+/业二41十 ”L山满足初始条件飘）= 的解.（10%五、证明题：（10%设乃（工）,官式力是方程yff+p(z)/+(x)y=O的解，且满足当D =式/）=0,乃土 口 ,这里p,虱工）在（-8, +）上连续, 两巨（一双十时.试证明：存在常数c使得卫式力=cA式力常微分方程测试题 31.辨别题指出下列方程的阶数，是否是线性方程：（12%）dy _ J , 2 dy _ ,d*尸？ d% d勺

5、. + X X + X Sill 尸-,乙 + t U（1）（2）也（3）七 山 放（4） N+港+x=（5）砥,-j 十谆（6）改 士。2、填空题（8%）dy=彳tan y（1） .方程山的所有常数解是 .（2） .若y=y 1（x）, y=y2（x）是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把 其通解表示为 .（3） .若方程M(x, y)dx + N (x, y)dy= 0是全微分方程，同它的通积分是 .（4） .设M(xo, yo)是可微曲线y= y(x)上的任意一点，过该点的切线在 x轴和y轴上的 截距分别是.3、单选题(14%)(1) .方程网七+ 5-瓜河=0是().(A)

6、可分离变量方程(B)线性方程(C)全微分方程(D)贝努利方程孚二亚二8)(2) .方程也，过点(0, 0)有().(A) 一个解(B)两个解(C)无数个解(D)三个解(3) .方程 x(y21)dx+y(x21)dy=0 的所有常数解是().(A) y= 土，x= 1,(B) y= +(C) x=+(D) y=1, x=1(4) .若函数y(x)满足方程歹十小一y 乂二0 ,且在x=l时，y=1,则在x = e时 y=().工 j.(A)巳(B)之(C)2(D) e(5) .用阶线性齐次方程的所有解构成一个()线性空间.(A)修维 (B)依+1维 (0然一1维 (D) + 2维字二也-+2(6

7、) .方程也（）奇解.（A）有三个 （B）无（C）有一个（D）有两个（7）,方程也 过点（。（）.（A）有无数个解（B）只有三个解（C）只有解一。（D）只有两个解4.计算题（40%）求下列方程的通解或通积分： 二.（1）.山1十一.，+犷冲+。、4分加0 y二(4) .出 x(5) . /尸)=15 .计算题（10%）求方程/_5=曲5武的通解.6 .证明题（16%）设fEp)在整个工农平面上连续可微，且.求证：方程字= /(3) 07的非常数解A = V，当天 T品时，有、出，那么克口必为8或+ oa常微分方程测试题41 .辨别题指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%)dy ady d

8、sv da v 八一 =7 +x一 二工- xsiny-g-2y十一y = 0(1)山山(3) 七 心由r(y = h十立(4) 6十五=(5)通飞煤 户加4*%二。2、填空题(8%)dy=彳tan y(1) .方程山的所有常数解是 .(2) .若y=y 1(x), y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把 其通解表示为 .(3) .若方程M(x, y)dx + N (x, y)dy= 0是全微分方程，同它的通积分是 .(4) .设M(xo, yo)是可微曲线y= y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是3、单选题(14%)(1) .方程网也+5-瓜

9、河二。是().(A)可分离变量方程(B)线性方程(C)全微分方程(D)贝努利方程当二一(0W.CO)(2) .方程小，过点(0, 0)有().(A) 一个解(B)两个解(C)无数个解(D)三个解(3) .方程 x(y21)dx+y(x21)dy=0 的所有常数解是().(A) y= 土，x= 1,(B) y= +(C) x=+(D) y=1, x=1(4) .若函数y(x)满足方程号, +产7 工二 ,且在x=i时，y=i,则在x = e时 y=().L j.(A) &(B)之(C)2(D) e(5) .抬阶线性齐次方程的所有解构成一个()线性空间.(A)修维 (B)依+1维 (0然一1维 (

10、D) + 2维学二J工一-十2(6) .方程也()奇解.(A)有三个 (B)无 (C)有一个 (D)有两个史二十.方程也 过点(。0)( ) .(A)有无数个解(B)只有三个解(C)只有解二。(D)只有两个解4.计算题(40%)求下列方程的通解或通积分:.，+犷)心+ (犬嫡叱0当上一分(4) .由五犬(5)5 .计算题(10%)求方程/-5尸二的5K的通解.6 .证明题(16%)设/Er)在整个工农平面上连续可微，且“工”。求证：方程字= /()07的非常数解1y二V，当工T工。时，有“琦T*o，那么而必为一m或+旧常微分方程测试题5一、填空题（30%1 .若y=yi（x） , y=y2（x

11、）是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两 个解可把其通解表示为.空=一+/2 .方程出满足解的存在唯一性定理条件的区域是.3 .九国力连续是保证方程也初值唯一的 条件.一条积分曲线.dY &f-A （ x） Y4 . 线性齐次微分方程组山的一个基本解组的个数不能多于个，其中无已R,5 .二阶线性齐次微分方程的两个解V=6（埼/ =吗。）成为其基本解组 的充要条件是.4y=SMI X COSy6 .方程出满足解的存在唯一性定理条件的区域是.变7 .方程小 的所有常数解是.8 .方程4m.+砌=0所有常数解是.9 .线性齐次微分方程组的解组耳a）.y式为基本解组的 条件是它们的朗斯基行列式 附

12、。10 .制阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为 个二、计算题（40%求下列方程的通解或通积分： y y=-htan 1 .1 COS/- CQEXSm ,尸二血厂2 .也3 .(9*北 + -1)叱 0由丁三AI df虹24 .1也由-=x+v出史二3+ 3y三、证明题（30%1 .试证明：对任意克口及满足条件。如”的外，方程由1 +/+/的满足条件羟的解尸二小在（-g, +此上存在.dy2 .设了在上连续， 且照/（=,求证:方程也+/一了（* 的任意解N 7。）均有帆二 .3 .设方程丈一 ”, 中，35在一双十切上连续可微，且Wd：。，二口）.求证：该方程的任一满足初值条件 以。）

13、二%的解卫必在区间出，+ 上存在.常微分方程测试题6一、填空题 （20%）1 .方程七的所有常数解是.2,方程克M-1）心+y*T）如三口的常数解是.3 . 一阶微分方程的一个特解的图像是 维 空间上的一条曲线.4 .方程V +y二0的基本解组是.二、选择题（25%）1.盟阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（）个.（A）融（B）依-1（C）月+1（D）n +22 .李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（）条件.（A）充分（B）必要 （C）充分必要（D）必要非充分史二 Jl-丁 区 1）3 .方程匕 过点2 共有（）个解.（A） 一（B）无数（C）两（D）三电二环+工4 .方程疝（）奇解.（A）有一个（B）有两个（C）无（D）有无数个史二r5 .方程五一“，的奇解是（）.（A）不=（B） 了 = 1（C）T（口）犷二0三、计算题（25%）1.x 1=+y 2.tgydx-ctydy=0 3.（耳+ 2）袅一耳=04.dr + (y3 + In 工)右二 05.工四、求下列方程的通解或通积分（30%）常微分方程测试题 7一.解下列方程（80%）1. x = +y2. tgydx-ctydy=03. y-x（二 +J ）dx-xdy=04. 2xylnydx+ 1 +1 dy=0办 Z5. 上=6 - -