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1、课时跟踪检测（四） 导数的运算法则层级一学业水平达标1已知函数f(x)ax2c，且f(1)2，则a的值为()A1B.C1 D0解析：选Af(x)ax2c，f(x)2ax，又f(1)2a，2a2，a1.2函数y(x1)2(x1)在x1处的导数等于()A1 B2C3 D4解析：选Dy(x1)2(x1)(x1)2(x1)2(x1)(x1)(x1)23x22x1，y|x14.3曲线f(x)xln x在点x1处的切线方程为()Ay2x2 By2x2Cyx1 Dyx1解析：选Cf(x)ln x1，f(1)1，又f(1)0，在点x1处曲线f(x)的切线方程为yx1.4. 已知物体的运动方程为st2(t是时间
2、，s是位移)，则物体在时刻t2时的速度为()A. B.C. D.解析：选Ds2t，s|t24.5设曲线yaxln(x1)在点(0,0)处的切线方程为y2x，则a()A0 B1C2 D3解析：选Dya，由题意得y|x02，即a12，所以a3.6曲线yx3x3在点(1,3)处的切线方程为_解析：y3x21，y|x131212.切线方程为y32(x1)，即2xy10.答案：2xy107已知曲线y12与y2x3x22x在xx0处切线的斜率的乘积为3，则x0_.解析：由题知y1，y23x22x2，所以两曲线在xx0处切线的斜率分别为，3x2x02，所以3，所以x01.答案：18已知函数f(x)fcos
3、xsin x，则f的值为_解析：f(x)fsin xcos x，ff，得f1.f(x)(1)cos xsin x.f1.答案：19求下列函数的导数：(1)yxsin2x；(2)y；(3)y；(4)ycos xsin 3x.解：(1)y(x)sin2xx(sin2x)sin2xx2sin x(sin x)sin2xxsin 2x.(2)y .(3)y.(4)y(cos xsin 3x)(cos x)sin 3xcos x(sin 3x)sin xsin 3x3cos xcos 3x3cos xcos 3xsin xsin 3x.10偶函数f(x)ax4bx3cx2dxe的图象过点P(0,1)，且
4、在x1处的切线方程为yx2，求f(x)的解析式解：f(x)的图象过点P(0,1)，e1.又f(x)为偶函数，f(x)f(x)故ax4bx3cx2dxeax4bx3cx2dxe.b0，d0.f(x)ax4cx21.函数f(x)在x1处的切线方程为yx2，切点为(1，1)ac11.f(x)|x14a2c，4a2c1.a，c.函数f(x)的解析式为f(x)x4x21.层级二应试能力达标1若函数f(x)ax4bx2c满足f(1)2，则f(1)等于()A1B2C2 D0解析：选Bf(x)4ax32bx为奇函数，f(1)f(1)2.2曲线yxex1在点(1,1)处切线的斜率等于()A2e BeC2 D1解
5、析：选C函数的导数为f(x)ex1xex1(1x)ex1，当x1时，f(1)2，即曲线yxex1在点(1,1)处切线的斜率kf(1)2，故选C.3已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2xf(e)ln x，则f(e)()Ae1 B1Ce1 De解析：选Cf(x)2xf(e)ln x，f(x)2f(e)，f(e)2f(e)，解得f(e)，故选C.4若f(x)x22x4ln x，则f(x)0的解集为()A(0，) B(1,0)(2，)C(2，) D(1,0)解析：选Cf(x)x22x4ln x，f(x)2x20，整理得0，解得1x0或x2，又因为f(x)的定义域为(0，)，所以x2.5
6、已知直线y2x1与曲线yln(xa)相切，则a的值为_解析：yln(xa)，y，设切点为(x0，y0)，则y02x01，y0ln(x0a)，且2，解之得aln 2.答案：ln 26曲线y在点(1,1)处的切线为l，则l上的点到圆x2y24x30上的点的最近距离是_解析：y，则y1，切线方程为y1(x1)，即xy20，圆心(2,0)到直线的距离d2，圆的半径r1，所求最近距离为21.答案：217已知曲线f(x)x3axb在点P(2，6)处的切线方程是13xy320.(1)求a，b的值；(2)如果曲线yf(x)的某一切线与直线l：yx3垂直，求切点坐标与切线的方程解：(1)f(x)x3axb的导数
7、f(x)3x2a，由题意可得f(2)12a13，f(2)82ab6，解得a1，b16.(2)切线与直线yx3垂直，切线的斜率k4.设切点的坐标为(x0，y0)，则f(x0)3x14，x01.由f(x)x3x16，可得y0111614，或y0111618.则切线方程为y4(x1)14或y4(x1)18.即y4x18或y4x14.8设fn(x)xx2xn1，x0，nN，n2.(1)求fn(2)；(2)证明：fn(x)在内有且仅有一个零点(记为an)，且0an.解：(1)由题设fn(x)12xnxn1.所以fn(2)122(n1)2n2n2n1，则2fn(2)2222(n1)2n1n2n，得，fn(2)12222n1n2nn2n(1n)2n1，所以fn(2)(n1)2n1.(2)因为f(0)10，fn112n1220，因为x0，n2.所以fn(x)xx2xn1为增函数，所以fn(x)在内单调递增，因此fn(x)在内有且仅有一个零点an.由于fn(x)1，所以0fn(an)1，由此可得ana，故an.所以0anan1.
