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1、射影定理的推广及应用射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理，尽管义务教材中没有列入，但在几何证明及计算中应用很广泛，若能很好地掌握并灵活地运用它，常可取到事半功倍的效果。一般地，若将定理中的直角三角形条件非直角化，亦可得到类似的结论（这里暂且称之为射影定理的推广），而此结论又可作为证明其它命题的预备定理及联想思路，熟练地掌握并巧妙地运用，定会在几何证明及计算“山穷水尽疑无路”时，“柳暗花明又一村”地迎刃而解。下面结合例子从它的变式推广上谈谈其应用。一、射影定理射影定理直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。如图（1）：RtABC
2、中，若CD为高，则有CD2=EDAD、BC2=BDAB或AC2=ADAB。（证明略）二、变式推广1.逆用如图（1）：若AABC中，CD为高，且有DC2=BDAD或AC2=ADAB或BC2=BDAB，则有ZDCB=ZA或/ACD=/B，均可等到AABC为直角三角形。（证明略）2.般化，若AABC不为直角三角形，当点D满足一定条件时，类似地仍有部分结论成立。（后文简称：射影定理变式（2）如图（2）：AABC中，D为AB上一点，若ZCDB=ZACB，或ZDCB=ZA，则有ACDBsACB，可得BC2=BDAB；反之，若AABC中，D为AB上一点，且有BC2=BDAB，则有CDBsACB,可得到ZCD
3、B=ZACB，或ZDCB=ZA。证明略）三、应用例1如图（3）,已知：等腰三角形ABC中，AB=AC,BE交于点H,求证：4DHDA=BC2分析：易证ZBAD=zCAD=90O-ZC=ZHBD，联想到射影定理变式（2）,可得BD2=DHDA,又BC=2BD，故有结论成立。（证明略）例2如图（4）：已知。0中，D为弧AC中点，过点D的弦BD被弦AC分为4和12两部分，求DC。分析：易得到ZDBC=ZABD=ZDCE，满足射影定理变式（2）的条件，故有CD2=DEDB,易求得DC=8（解略）例3已知：如图（5），ABC中，AD平分ZBAC，AD的垂直平分线交AB于点E,交AD于点H,交AC于点G,
4、交BC的延长线于点F,证明：连AF,TFH垂直平分AD,.FA=FD,ZFAD=ZFDA,求证：DF2=CFBF。TAD平分ZBAC,.ZCAD=ZBAD,/ZB=ZFDAZBAD,3例5已知：如图（7）,直线y=”x+3交x轴于点A,交y轴于点B,以点M（4,.ZFAC=ZB，又ZAFC公共，AFcF.ZFADZCAD=ZFDAZBAD,0）为圆心，MB为半径作。M交AB的延长线于D,与y轴交于另一点C（!）求点D的坐标。（2）连AC、MD、CD,CD交x轴于E,求证：ACE9ADME。（3）若P为弧BC上任一点时（图8）,PE的延长线交M于Q,点，问当点P在弧BC（不含端点B、C）上运动时
5、，APAQ的值地否改变？试证明你的结论。略解：（1）作DN丄x轴于N,运用割线定理及相似三角形）。的性质，可得d的坐标为（55,117(2)法1由COEsDNE,通过计算有EM=EC,ae=de，又zaec=zdem,.ACE9ADME。法2：连bm,vzace=zacb+zbcd,zacb=zabc=zbcd+zbDc，/.ZACE=ZBDC+2ZBCD,?zbdc=zbme,ZDMB=2ZBCD,3)APAQ的值为定值。连MP,/acedme,.AMDsdME,.DM2=MEma,.MP2=MEma,.zmpe=zeap./.zcae=zmde,.mp=md,/.MPEsMAP,mq=dm
6、.MQ2=MEma./.MEQsMQA,/.zmeq=zmqa,ZMQE=ZQAM,.zace=zdme,又zaec=zdem,DM=AC=5/.acedmeZMPE=zMQE,ZMEQ=ZPEA,/.zeap=zqam,.apesAMQzpea=zmqa,.APAE.AM二AQ，/.APAQ=AEAM=AM2EMAM=AM2DM2=8252=39。点评：本例（3）中围绕PM2=MQ2=DM2=MEMA,反复运用变式推广2,正面用过来，反面用回去，其运用之妙，体现着数学的变化之美。例6已知：如图（9）,直线y=2x+2交x、y轴于A、C两点，过A、C两点作。M,交轴于另一点B,交轴于另一点D,
7、且圆心M在轴上（1）求点M的坐标。（2）以A为圆心，AC为半径作OA（如图10）,点P为。A的优弧CD上任一略解：（点，连P0并延长交A于Q点，求证：ZOBP=ZOBQO）当点P在。A的优弧CD（不含端点C、D）上运动时，BPBQ的值是否发生改变？试证明你的结论。1）易求得点M的坐标为（牙,0）。（解略。）2)连AQ、AP、AC、BC,?ZACO=ZABC,.AC2=AOAB,：AQ=AC,.AQ2=AOAB,.AOQsAQB,ZAQO=ZOBQ,.AP=AC,.AP2=A0AB,.AOPsAPB,.ZAPO=ZOBP,/APO=ZAQO,./OBP=ZOBQ。(3.AOPsAAPB,.ZAOP=ZAPB,*/ZAOP=ZQOB,.ZAPB=ZQOB，又ZOBP=ZOBQ,.APBsAQOB,AB_BQbF=BO.BPBQ=ABBO=5x4=20。
