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1、有关三角尺中的全等问题1、如图1（），两个不全等的等腰直角三角形和叠放在一起，并且有公共的直角顶点（1）将图1（）中的绕点顺时针旋转角，在图1（）中作出旋转后的（保留作图痕迹，不写作法，不证明）（2）在图1（）中，你发现线段，的数量关系是，直线，相交成度角（3）将图1（）中的绕点顺时针旋转一个锐角，得到图1（），这时（2）中的两个结论是否成立？作出判断并说明理由若绕点继续旋转更大的角时，结论仍然成立吗？作出判断，不必说明理由2、如图，四边形ABCD是正方形，（1）在图1中，直角三角尺AMN的直角顶固定在A处，在旋转过程中一条直角边和CB的延长线交于一点P，另一条直角边CD交于Q点。请你通过测量
2、PB和DQ的长度，猜想PB和DQ满足的数量关系和怎样的变换关系，并证明你的猜想。（2）在图2中，直角三角尺AON的45角顶固定在A处，在旋转过程中一条直角边和CB交于点R，斜边AN和CD交于Q点。请你通过测量BR和RQ及DQ的长度，猜想QR与BR、DQ满足的数量关系，并利用上面的变换方法证明你的猜想。3、如图31，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转（1）如图32，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数
3、量关系，并证明你的猜想；图33ABDGEFOMNC图32EABDGFOMNC（2）若三角尺GEF旋转到如图33所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由图31A( G )B( E )COD( F )4、用两个全等的等边三角形ABC和ACD拼成菱形ABCD、把一个含60角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合.将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时，（如图），通过观察或测量BE，CF
4、的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时（如图），你在中得到的结论还成立吗？简要说明理由.5、如图51，52，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与CBM的平分线BF相交于点F（1）如图51，当点E在AB边的中点位置时：通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是 ；连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是 ；请证明你的上述两个猜想ABCDEMF图51NABCDEMF图52（2）如图52，当点E在A
5、B边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N，使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系ABCEFG图6-2DABCDEFG图6-3ABCFG图6-16、在ABC中，AB=AC，CGBA交BA的延长线于点G一等腰直角三角尺按如图15-1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B（1）在图6-1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；（2）当三角尺沿AC方向平移到图6-2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DEBA于点E此时请你通过
6、观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DEDF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图6-3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立？（不用说明理由）参考答案1、解：（1）如图1（）（字母位置互换扣1分，无弧扣1分，不连结扣1分，扣完为止）（2）；（3）成立如图1（）即：（或由旋转得） 延长交于，交于（下面的证法较多），旋转更大角时，结论仍然成立2、解：（1）PB=DQDQ可以绕点A旋转90到PB。3、解：（1）BM=FN 证明：GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形， ABD =F
7、=45，OB = OF又BOM=FON， OBMOFN BM=FN（2）BM=FN仍然成立证明：GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，DBA=GFE=45，OB=OFMBO=NFO=135又MOB=NOF， OBMOFN BM=FN 4、（1）BECF. 证明：在ABE和ACF中， BAEEACCAFEAC60，BAECAF.ABAC，BACF60，ABEACF（ASA）.BECF.（2）BECF仍然成立. 根据三角形全等的判定公理，同样可以证明ABE和ACF全等，BE和CF是它们的对应边.所以BECF仍然成立. 5、解：（1）DE=EF；NE=BF；四边形ABCD为正方形，AD=A
8、B，DAB=ABC=90，N，E分别为AD，AB中点，AN=DN=AD，AE=EB=AB，DN=BE，AN=AE，DEF=90，AED+FEB=90，又ADE+AED=90，FEB=ADE，又AN=AE，ANE=AEN，又A=90，ANE=45，DNE=180ANE=135，又CBM=90，BF平分CBM，CBF=45，EBF=135，DNEEBF（ASA），DE=EF，NE=BF（2）在DA上截取DN=EB（或截取AN=AE），连接NE，则点N可使得NE=BF此时DE=EF证明方法同（1），证DNEEBFABCEFG图7HD6、（1）BF=CG；证明：在ABF和ACG中，F=G=90，FAB=GAC，AB=AC，ABFACG（AAS），BF=CG（2）DE+DF=CG；证明：过点D作DHCG于点H（如图7）DEBA于点E，G=90，DHCG，四边形EDHG为矩形，DE=HG，DHBGGBC=HDCAB=AC，FCD=GBC=HDC又F=DHC=90，CD=DC，FDCHCD（AAS），DF=CHGH+CH=DE+DF=CG，即DE+DF=CG（3）仍然成立
