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1、导数含参变量的问题复习课的教学与反思 -中学数学论文导数含参变量的问题复习课的教学与反思江苏省无锡市洛社高级中学翟荣俊、课堂教学实录 问题：（前一天的作业题）：分析函数f （x） =lnx-x2+x 的零点个数。学生分析一：可以令 y1=lnx , y2=x2-x ,研究函数y1=lnx 与y2=x2-x 图像的 交点个数 点评：函数零点的个数判断问题，我们常常可以采用构建函数，图像观察得到,但是本题若仅从图像上，可以看出函数y1=lnx与y2=x2-x都经过点（1, 0）,0但较难看出是否还有其它的公共点，所以若仅采用图像观察，难以得到正确的数当x=1时，y极大值二y最大值=f (1) =0
2、联系图像1 ,所以函数f (x) =lnx-x2+x 的零点个数为1个。点评：此类方法是从原函数的性质出发，巧妙地利用了导数这一工具，分析了函数在定义域内的变化趋势，再利用数形结合的方法，正确地加以分析，得出结果。 在这一解决过程中，很好地体现了导数的作用，将函数性质加以科学分析后，并 研究图像，这样将理性的分析和感性的观察有机结合，对研究函数的有关问题很 有帮助。学生归纳：分析函数零点(方程的根)的一般方法。“构造一个眄(1)解方程；画图，数形结合，此处应根据实际问题思考构造两个函数 老师归纳：解决参数范围问题，能够分离参数的可以先分离参数， 不能分离就需 要合理地开展分类讨论。练习：已知函
3、数 f (x) =lnx-a2x2+ax ( a C R) f (x)在(1,+00)上单调递减，求a的取值范围。学生分析：原题等价于f0不合舍去当 a wO时，g xl =-4a2x+a此时只需研究g (x) =-2a2x2+ax+1 在(1, +00)上的最大值。函数g xjs-Zxax+l开I I向对称轴为x=卜面分类时论 1)当七:一百1时，q Jt)-2MQnm1 qa由1.+8)上单调递减，只需Ig xH用,=g 1)=-2+a+1 1时，因为开口向卜g x)f&y -J-) 谱+/.Q无蛹综上，所求a的取值范围为aw-j或a1学生补充;函数q x)=-2+ax+1可以先分析其特点
4、当。淤0时*函数融=2/兴+敌+1开口向卜,时称轴为x二匕-，而且有g 0) =10I麻系图像2分析：由图像 变化特点可见,本题要使得 g( X) =-2yxa+ax+1 WO 由 1? 十 卜恒成花，只需要q1)1=-2解+3 +1Oqaw -7或 4L对称轴的位置可以不考虑,筒化解题过程.问题四:设函数f)0=十1 -ax,其中日乂L求a的取 值能围，使函数f X)在区间0/与上是单漉函数.学生讨论分析*X)二 J 二-a函数f x)-EOjg) 5VT上是单调函数,即f( x)。或代X) 0,得aw5在十日上一? .WvWT的最小值是0,所以3应0,此H题设a0矛盾；2 IL f Xi
5、=0. T 心-V3C2+1十%) ,次以 +8)上三=连域速埴，且所在匕高卜)- 1 ,所以a1综合可知，当al时，函数f (x)在区间0, +oo)上是单调函数师生归纳：可导函数f (x)在(a, b)上是单调递增(或单调递减)函数的充 要条件是：对于任意x （a, b）者B有f xQ0 （或xQ Q）且f xjj 在（a, b）的任意子区间上都不包为零.在高中阶段，主要出现的是有一个或多 个（有限个）使f x =0的点x的情况，像问题这种逆向设置研究参数范围的 问题，是近几年高考命题的一种趋向，它充分体现了高考“能力立意”的思想。 对此，在高三的数学专题复习中应引起高度重视。二、一些思考本节课成功的地方：解决的问题来源于作业，是高三学生作业中容易出现错误和困难的知识， 切入点 选择得好，为有效开展这节课的探究打下了很好的基础。函数零点的分布、含参不等式的研究，往往需要进行讨论，零点的分布研究常常 要结合函数的图像，而导数对于刻画函数变化趋势作用明显。 含参数的不等式的 成立普遍地与参数的取值有关，根据包成立条件，利用导数的方法求参变量的取 值范围常常是我们容易想到的，但在运用中却往往考虑不够全面。 本节课中的几 道研究题，很好地帮助学生较为深入地研究了此类问题，有利于学生理解并掌握 解决这一类数学问题的方法。（责任编辑：章若昆）
