量子对策论

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1、量子对策论1、对策量子化 在自然界和人类社会中，存在着大量的具有对抗或竞争性质的现象。对策论（ game theory）亦称博弈论，作为运筹学中的一个重要分支，就是研究具有对抗性或竞争性质的数 学理论和方法。早在两千多年前的中国古代，就已经有了“田忌赛马，这样的对策研究的 例子不过，这门具有悠久历史的学科直到本世纪初才作为数学的一个重要分支被系统地研 究，其奠基之作就是J. von Neumaann和O. Morgen-stern合著的博弈论和经济行为。由 于这门学科研究的现象与人们的政治、经济、军事活动以及生物进化、生态竞争等有着密切 联系，所以引起越来越广泛的注意1。从抽象的意义上讲，对策

2、论研究的是对抗或竞争各方采取某些策略，去最大化或最小化 某些特定的函数。物理学家受到量子信息其他领域如量子计算、量子密码的启发，很自然地 要考虑：如果对策拓展到量子领域，即允许存在策略的线性叠加和纠缠，会得出什么结果。 J. Eisert， M. Wilkens 和 M. Lewen-stein 指出3：将对策量子化有以下几个重要意义。首先，目前被广泛应用的经典对策论是建立在经典概率论基础上的，如果将此基础扩展 到量子概率（幅），应当会出现一些有趣的现象。再者，对策量子化很可能会有助于研究基 因竞争，即分子层次上的竞争现象。还有，量子通信及量子密码就可以作为一种量子对策来 研究：通信的各方与窃

3、听者对抗，对抗双方可以采用量子及经典策略。另外，对策量子化还 可以带来一些有趣的小游戏4。我们将分别通过介绍目前已经量子化的几个例子，来看一 下量子对策的内容、方法及一些结果。2、PQ 翻硬币问题代号为P和Q的两个人进行这样一个游戏：P把一枚正面朝上的硬币放进一个盒子里， 然后他和Q二人按Q，P，Q的顺序去操作，即翻或不翻这枚硬币，但是不能看这枚硬币的 状态（即朝上还是朝下）；当最后打开盒子时，如果正面朝上，Q赢，否则P赢。像这一个对策游戏没有一个确定性的策略解，任何一方使用一个确定策略（或称为单纯 策略），另一方就可以使用相应策略使其必输无疑。但是， von Neumann 已经证明2，任何

4、 一个有限策略的零和对策，总存在概率解，即混合策略。在PQ翻硬币问题中，其平衡解就 是: P分别以1/2的概率使用其两种策略N，F；而Q分别以1/4的概率使用其四种策略NN， NF，FN，FF或者说每次都以1/2的概率使用N，F两种策略。在此情况下，双方的收益的期望值都为 0，并且在一方采取平衡解时，另一方无法通过改变其使用的概率来提高其收益 期望值。本游戏的主人公之一 P 用概率论分析得到以上结果后，发现这游戏还算公平，就 答应与Q玩这一游戏，可是结果每次都输，原因何在？其中奥妙就在于Q没有按上面的分析每次混合使用策略N, F。在经典情况下，硬币状1 fllV/1态集为H, T，Q可采取混合

5、策略I丿列门儿尸丿，即无论硬币处于H还是T状态，都以1/2 的概率翻或者不翻。在量子领域，硬币状态集为IH，IT，Q就可以使用量子策略，即策略，这样就把硬币从IH在变为叠加态忑11把这两种策略叠加起来，使用卞策略，硬币状态就变为IH，所以Q必赢无疑。J丹+卩 无论P翻变为IT，IT变为IH）还是不翻，硬币还是保持这一状态不变然后，Q再使用一次PQ翻硬币问题是一个很简单的问题。但是许多重要问题都与此类似，例如著名的Grover算法6。 Grover 算法的任务是要在一个规模假设为 N 的大型数据库里搜寻某个指定的记录。不妨把数据库与搜寻者看作对弈双方，数据库随机放置了一个记录，搜寻者如果用经典方

6、法搜寻，平均要搜索N/2次，而利用量子策略，即利用叠加性和么正变换，则平均用阿这 一量级的搜索次数。经过分析，D。A。Meyel提出并证明了以下三个定理5 定理一：在二人零和对策中的对弈者，使用最优量子策略的收益期望值不低于使用最优 经典混合策略的收益期望值（证明：因为经典混合策略都可以找到一个量子策略来表示）。定理二：二人零和对策中并不一定存在双方都采用单纯量子策略的平衡点。 定理三：二人零和对策中总存在双方均采取混合（或单纯）量子策略的平衡点。3、量子博弈第二个例子是 L. Goldenberg 等提出的量子博弈4。赌博中有这样一个常见的游戏：艾 丽丝随机地往两个盒子中的一个放一枚硬币（放

7、进两个盒子的几率相等）。鲍博选中一个盒 子，当鲍博打开这个盒子，如果有硬币，鲍博赢（简单起见，假设赢一个硬币），否则鲍博 输一个硬币。但是在经典情况下，鲍博不易检验艾丽丝是否按几率 1/2：1/2 往盒子里放硬 币，尤其在对弈次数较少的时候。但是这一游戏量子化后可以做到这一点，而且还可以进行 远程对弈。量子化后的这一游戏框架如下：艾丽丝有两个盒子A和B用来放一个粒子。粒子在 A 盒子或 B 盒子的状态用a及ib来表示。艾丽丝把粒子制备到某个态上，然后将盒子b发送给鲍 博。在下列两种情况下鲍博赢：（1）如果他发现粒子在b盒子里，艾丽丝检查确信粒子不 在 A 盒子里，付给鲍博一个硬币;（ 2）鲍博

8、要求艾丽丝把 A 盒子发送过来，检验到艾丽丝 最初制备的态不是丽=贬（+间），那么艾丽丝就要付给鲍博R（R为两人事先约定 的数值）个硬币。其他情况下，艾丽丝赢，鲍博付给艾丽丝一个硬币。艾丽丝的策略就是将 粒子制备到I态上，即粒子处在盒子 A， B 的均等叠加态上，测量后在两个盒子发现粒子的几率相等，艾丽丝 就可以确保其收益期望值不低于0。当然也可以将粒子制备在偏离|的态|1山la+ Q|b上，这样就有可能被鲍博发现从而受罚损失R个硬币。鲍博的策略是收到B盒子后 lb，正交。这就好像把粒子在B盒子的态不破坏地分成两部分，在这里分裂参数q依赖于 惩罚参数R。在完成态分裂操作后，鲍博做态b的投影测量

9、，即查看盒子B里有没有艾丽 丝放置的粒子。如果鲍博发现了粒子，鲍博赢了这一局。否则，鲍博向艾丽丝索要A盒子 用来检验：他可以用A盒子并不立即测量粒子是否在B盒子里，而是先做一个变换：lb= 3lb这里!b，和留下来的lb,，来做联合测量，即看一下粒子是否处在la+血lb，态（忽略归一 化因子）上，就可以以一定的概率判断出艾丽丝是否作弊。这一量子化结果在实验上如果用 一般的粒子（如原子及离子）来实现是比较困难的事情。我们课题组发现如果利用光子，在现有技 术下完全能够实现。我们的实验方案是利用光子经过分束器的路径来代表A，B两个盒子， 利用光子的偏振来区别lb，lb，。而且（1）式中的变换即光子偏

10、振的旋转，以及光子偏 振或路径态的测量都比较容易实现。具体实验方案及结果见文献7。4、量子“囚徒怪圈第三个例子是两量子比特的对策，称作量子“囚徒怪圈，。在经典对策“囚徒怪圈， 中的两个局中人（假设为艾丽丝和鲍博）面临着这样的局面：艾丽丝与鲍博这两个囚徒被抓 起来，如果双方合作，都不向司法部门提供对方的犯罪证据，司法部门会因为证据较少各判 他们三年有期徒刑;如果双方对抗，都向司法部门提供对方的犯罪证据，双方会都被判五年; 若一方提供对方的证据而另一方不提供对方的证据，提供方立功被判一年，另一方被判七年。 这一对局可以用表2 中的数值表示（数值大表明被判刑时间短，即收益大，数值小则被判刑 时间长，

11、收益小）。在这张策略-收益表格中，括号内前面的数值为艾丽丝的收益而后者为 鲍博的收益。对任何参加者来说，无论对方采用什么策略，自己采用对抗策略要比合作策略 好，即主动提供对方犯罪证据要比顽抗好。这样双方就找到了平衡点。如果艾丽丝双方能够 合作，其结果要比双方对抗更为有利，但是在双方都独立地追求自己的最大利益的情况下 却得到比较差的结果，这就是所谓囚徒怪圈。5、结语目前已经提出的量子对策模型主要是以上三个，还有一个与量子囚徒怪圈比较类似的模 型，只是对策矩阵的各数值间的大小顺序不同经典对策量子化的方法主要是引人量子 力学中的叠加性以及利用纠缠态。但是对于大部分实例，叠加策略在测量后又化为经典混合 策略，并不出现新结果。本文前两个例子都是多步对策，利用了多步量子操作的优点：即量 子干涉，所以会带来新的结果。第三个例子则是引入了纠缠，即利用变换把艾丽丝和鲍博 所处的状态纠缠起来，这也是经典情况不能做到的，从而促使两位局中人采用非完全对抗策 略。作为一个新兴分支，量子对策无疑给量子信息学引入了新的研究方法，即用研究对抗或 竞争现象的方法来研究量子算法和量子密码5。而且量子力学的方法又将具有悠久历史的经 典对策论拓展到一片崭新的天地。