《福建师范大学21秋《复变函数》平时作业一参考答案42》由会员分享，可在线阅读，更多相关《福建师范大学21秋《复变函数》平时作业一参考答案42（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、福建师范大学21秋复变函数平时作业一参考答案1. VE中两组标准正交基之间的过渡矩阵，必为正交矩阵 VE中两组正交基的过渡矩阵为正交矩阵？VE中两组标准正交基之间的过渡矩阵，必为正交矩阵VE中两组正交基的过渡矩阵为正交矩阵？例 设VE=R3=(a，b，c)|a，b，cR，1=(2，1，1)，2=(0，3，0)，3=(1，0，-2)；1=(1，1，0)，2=(1，-1，0)，3=(0，0，1)是两组正交基，且 ， ，不为正交矩阵 2. 若f(u)可导，且y=f(esinx)，则有( ) Ady=f&39;(esinx)desinx Bdy=f&39;(esinx)esinxcosxdx Cdy=
2、f若f(u)可导，且y=f(esinx)，则有()Ady=f(esinx)desinxBdy=f(esinx)esinxcosxdxCdy=f(esinx)dxDdy=f(esinx)desinxAB令u=esinx，则y=f(u) dy=f(u)du=f(esinx)desinx，故(A)符合，(C)排除 又desinx=esinx(sinx)dx=esinxcosxdx dy=f(esinx)desinx=f(esinx)esinxcosxdx，所以(B)符合 (D)中dy=f(esinx)desinx=f(esinx)esinxdesinx，所以(D)也排除 3. 过半径为R的圆周上一点
3、0任意作圆的弦0A，0A与直径0B的夹角X服从均匀分布。求所有这些弦长AB的平均长度及弦长A过半径为R的圆周上一点0任意作圆的弦0A，0A与直径0B的夹角X服从均匀分布。求所有这些弦长AB的平均长度及弦长AB的方差设弦长AB=Y，则Y=2R|sinX|，由于，所以X的概率密度为，由函数的期望公式求得；EY2=2R2；4. 有界可测集的测度为有限数，无界可测集的测度为+。( )A.正确B.错误参考答案：B5. ，其中D是由直线x=0，y=和y=x所围成的区域，其中D是由直线x=0，y=和y=x所围成的区域积分区域D如图8.24所示，0y，0xy 6. 指出下列点集的内点、边界点、聚点，并说明是否
4、是有界集、连通集、开区域、闭区域。指出下列点集的内点、边界点、聚点，并说明是否是有界集、连通集、开区域、闭区域。(1)E中的任一点都是点集E的边界点；点集E没有内点；x轴上的点，y轴上的点都是E的聚点；E是有界集；集合E不是区域、闭区域，也不是连通集。$(2)集合F中除点(1，0)外的任一点(x，y)都是F的内点；圆周x2+y2=1与(x-2)2+y2=1上的点和点(1，0)都是F的边界点；F的每一个点都是F的聚点；F是有界集，连通集；但不是区域(1，0)不是F的内点)，也不是闭区域$(3)G中的任何一个点(x，y)都是G的内点；(0，0)点是G的边界点；全平面R2上任一点(x，y)都是G的聚
5、点；G是无界集，连通集；G是区域，但不是闭区域。7. 若f有界变差且g满足Lip条件，则复合函数g(f(x)也是有界变差。( )A.正确B.错误参考答案：A8. 若f(x)dx=F(x)+C，则e-xf(e-x)dx=( ) AF(ex)+C B-F(e-x)+C CF(e-x)+C D若f(x)dx=F(x)+C，则e-xf(e-x)dx=()AF(ex)+CB-F(e-x)+CCF(e-x)+CDBe-xf(e-x)dx=-f(e-x)d(e-x)=-F(e-x)+C9. 若一元连续函数f(x)在区间上只有唯一的极值点a，则当f(a)为极大(小)值时，它必定也是f(x)在该区间若一元连续函
6、数f(x)在区间上只有唯一的极值点a，则当f(a)为极大(小)值时，它必定也是f(x)在该区间上的最大(小)值这一结论能否推广到多元函数上来?正确答案：10. 设A，B是两个事件，且满足条件0P(A)1，P(B|A)+=1，求证：A与B相互独立设A，B是两个事件，且满足条件0P(A)1，P(B|A)+=1，求证：A与B相互独立用例1.17题1与本例11. 经研究发现在短跑比赛中，运动员由于生理条件的限制在达到一定的高速度后不可能持续发挥自己的最大冲力假设经研究发现在短跑比赛中，运动员由于生理条件的限制在达到一定的高速度后不可能持续发挥自己的最大冲力假设运动员克服生理限制后能发挥的冲力f(t)满
7、足，k是冲力限制系数，f(0)=F为最大冲力将上述关系代入赛跑模型的(2)式，求出短跑比赛时速度u(t)和距离s(t)的表达式，及达到最高速度的时间，作出v(t)的示意图某届奥运会男子百米决赛前6名在比赛中到达距离s处所用的时间t和当时的速度v如下表所示(平均值)：s(m)05152535455565758595t(s)00.9552.4353.4354.3555.2306.0856.9457.8158.6909.575v(m/s)05.249.5410.5211.1911.6211.7611.4911.4711.3611.22试从这组数据估计出参数，k，F算出v(t)的理论值与实际数据比较你
8、对这个模型有什么解释和评价由(k0)和f(0)=F，得f(t)=Fe-t/k代入(2)式，有 (0tT，T是赛程所需时间) 解得 (1) (2) (3) t*是v(t)达到最大的时间(3)式代入(1)，(2)可得v*=v(t*)，s*=s(t*)又由所给数据，得t*=6.085s，v*=11.76m/s，s*=55m代入(1)(3)式计算出=1.845s，k=43.4s，F=7.32m/s2将这些数据代入(1)得 v(t)=14.1(e-t/43.4-e-t/1.845) (4) 用(4)式计算v(t)(理论值)与实际值比较如下： v(t)(实际值) 0 5.24 9.54 10.52 11.
9、19 11.62 11.76 11.49 11.47 11.36 11.22 v(t)(理论值) 0 5.29 9.56 10.84 11.43 11.63 11.76 11.69 11.56 11.41 11.23 与模型不同，由于冲力是递减的，所以即便是短跑，速度也在达到最大值v*后，有一个减少的阶段t*，这与本题所给数据是吻合的 12. 节水洗衣机 我国淡水资源有限，节约用水人人有责洗衣在家庭用水中占有相当大的份额，目前洗衣机已非常普及，节水洗衣机我国淡水资源有限，节约用水人人有责洗衣在家庭用水中占有相当大的份额，目前洗衣机已非常普及，节约洗衣机用水十分重要假设在放入衣物和洗涤剂后洗衣机
10、的运行过程为：加水漂洗脱水加水漂洗脱水(称“加水漂洗脱水”为运行一轮)请为洗衣机设计一种程序(包括运行多少轮，每轮加水量等)，使在满足一定洗涤效果的条件下，总用水量最少选用合理的数据进行计算对照目前常用的洗衣机的运行情况，对你的模型作出评价13. 设X(t)，tT与Y(t)，tT为相互独立的实平稳过程，且EX(t)=mX，EY(t)=mY。令Z(t)=X(t)Y(t)，tT。设X(t)，tT与Y(t)，tT为相互独立的实平稳过程，且EX(t)=mX，EY(t)=mY。令Z(t)=X(t)Y(t)，tT。EZ(t)=EX(t)Y(t)=EX(t)EY(t)=mXmY=mZ=常数 Z2=EZ2(t
11、)=EX2(t)Y2(t)=EX2(t)EY2(t)=X2Y2+ RZ(t1,t2)=EZ(t1)Z(t2)=EX(t1)Y(t1)X(t2)Y(t2)=EX(t1)X(t2)EY(t1)Y(t2)=RX(t2-t1)RY(t2-t1)故Z(t)为宽平稳过程，且 RZ(t2-t1)=RX(t2-t1)RY(t2-t1)即 RZ()=RX()RY()$因为EP(t)=EX(t)-mX=mX-mX=0 EQ(t)=EY(t)-mY=mY-mY=0而 RZ(t1,t2)=RX(t1,t2)RY(t1,t2)令=t2-t1,则 RX(t1,t2)=EX(t1)X(t2)=E(P(t1)+mX)(P(t
12、2)+mY)=EP(t1)P(t2)+mXP(t2)+mXP(t1)+mXmX=Rp(t1,t2)+mX2=e-a|+mX2同理 RY(t1,t2)=RQ(t1,t2)+mY2=e-b|+mY2 RZ(t1,t2)=RX(t1,t2)RY(t1,t2)=(e-a|+mX2) (e-b|+mY2)所以 14. 计算函数的导数：y=excosx计算函数的导数：y=excosxy=excosx+ex(-sinx)=ex(cosx-sinx)15. 求(U，V)的相关系数求(U，V)的相关系数正确答案：16. 求微分方程xy=y&39;-xy&39;2的通解求微分方程xy=y-xy2的通解方程属于y=
13、f(x，y)型令y=p，则，方程化为伯努利方程 因此，可化为 解该方程，得 即 故 是方程的通解 17. 向量组1，2，k含有零向量，则该向量组必然线性相关 向量组1，2，k线性相关，则必然含有零向量？向量组1，2，k含有零向量，则该向量组必然线性相关向量组1，2，k线性相关，则必然含有零向量？例 设1=(1，2，4)，2=(2，4，8)，易知1，2线性相关，但1，2中不含零向量18. 已知两条光滑的平面曲线C1:f(x,y)=0及C2：(x,y)=0，又点P(，)C1，点Q(，)C2，且P，Q都不是曲线的端点，试证：已知两条光滑的平面曲线C1:f(x,y)=0及C2：(x,y)=0，又点P(，)C1，点Q(，)C2，且P，Q都不是曲线的端点，试证：如果这两点是两曲线上相距最近或最远的点，则下列关系式必成立：(即PQ为C1，C2的公共法线)设P，Q分别为曲线C1，C2上的两点，且PQ为两曲线
