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1、正弦定理、余弦定理目标认知学习目标:1. 使学生掌握正弦、余弦定理的推导过程，能初步运用正弦、余弦定理解斜三角形;熟记正弦、余弦定理及其变形形式；通过正弦、余弦定理的推导体现数形结合的思想、分类讨论的思想。重点：正、余弦定理的推导及应用。难点：正、余弦定理的向量证明，两个定理的综合运用。知识要点梳理知识点一：初中的三角知识1.ABC中（1）一般约定：ABC中角AB、C所对的边分别为a、b、（2）ABC=180；（3）大边对大角，大角对大边，即BXbc；等边对等角，等角对等边，即B二C=b二c；（4）两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即2.RtABC中，.C=90，(1) BA=90，a2
2、b2二c2sinA，sinB，sinC=1；cccosAacosB，cosC二0c知识点二：正弦定理正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即:abcsinAsinBsinC（一）直角三角形中的正弦定理的推导ab证明：sinA，sinB，sinC=1，ccabc=，c=sinAsinB即:cc=sinCabcsinAsinBsinC（二）斜三角形中的正弦定理的推导证明：法一：构造直角三角形（1）当ABC为锐角三角形时如图，作AB边上的高线CD交AB于D，则：在RtCBD中，CDsinB,即CD二asinB,a在RtACD中，CDsinA,即CD一bsinA,basinB=bsinA
3、，即absinAsinB同理可证bcsinBsinCabcsinAsinBsinC当.ABC为钝角三角形时如图，作AB边上的高线CD交AB于D，则：CD在Rt.CBD中，sinB，即CD二asinB，aCD在RtACD中，sin(180：-A),即CD二bsin(18(f-A)二bsinA,bab_sinAsinB同理可证bcsinBsinCa_bcsinAsinBsinCasinB二bsinA,即法二：圆转化法(1)当ABC为锐角三角形时如图，圆0是：ABC的外接圆，直径为AD=2R，则.C工/D,2R2rc-(R为ABC的外接圆半径)sinC同理：2R-a2R=bsinAsinB故：一ab
4、2rsinAsinBsinC(2)当ABC为钝角三角形时如图，sinA=sinE=sinF=a.-sinCsinD2R法三：面积法任意斜-ABC中，如图作CH_AB，贝UCH=ACsinASabcCH-ABACsinA=bcsinAB22211absinC,Sab=acsinB11acsinBbcsinA,22同理：SABC=21故SabcabsinC1两边同除以丄abc2即得：sinAsinB法四：向量法(1)当.ABC为锐角三角形时sinC过A作单位向量j垂直于AC，则AC+CB=ABC两边同乘以单位向量j，得j(AC+CB)=jAB,即jACjCB=jAB|AC|cos9O0|j|CB|
5、cos(90-C)=|j|AB|cos(9A),asinC=csinA,a_csinAsinC同理：若过C作j垂直于CB得:bcsinBsinCabcsinAsinBsinC(2) 当ABC为钝角三角形时设一A90，过A作单位向量j垂直于向量AC,同样可证得:说明：abcsinAsinBsinC?Ac.0,|jh1，忒a，忌c,cos(90-C)5C,cos(90-A)5A正弦定理适合于任何三角形；abc可以证明2R(R为二ABC的外接圆半径)；sinAsinBsinC(1) 每个等式可视为一个方程：知三求一。(三) 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： 已知两个角及任意一边，求其他两边
6、和另一角； 已知两边和其中一边的对角，求其他两个角及另一边。知识点三：余弦定理三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。即:a2二b2c2-2bccosAb2二a2c2-2accosBc2二a2b2-2abcosC余弦定理的推导已知：6ABC中，BC=a,AC=b及角C，求角C的对应边c.证明：方法一：几何法(1)当.ABC为锐角三角形时如图，作BC边上的高AD222222根据勾股定理有：AC=ADCD，AB=ADBD,RtADC中，CD二ACLcosC,AB2=(AC2-CD2)BD2=AC2_(ACLcosC)2(CB_CD)2=b2-b2cos2C(a
7、_bcosC)222ba2abcosC即:c2=a2b2-2abcosC.(2)当ABC为钝角三角形且C为钝角时如图，作BC边上的高AD根据勾股定理有：ACAD2CD2,ABAD2BD2./RUADC中，CD二ACos(二-C)-AC_cosC,cCa-AB2-(AC2-CD2)BD2=AC2-(-ACLcosC)2(CBCD)2二b2b2cosC(abcosC)222二ba2abcosC即：c2二a2b2-2abcosC仍然成立。(3)直角ABC中，C=时，cosC=0,则c=a2b2，恰好满足勾股定理。2方法二：向量法(1)锐角ABC中(如图)，ITI/ACCB二AB,TTTTABLAB=
8、(ACCB)(ACCB)CB=AC22cblACII.=|AC|22|CB|AC|cosCC)|CBf22=b2bacosCa即：c2二a2b2-2abcosC(*)夹角应为二-C，而不是C.（2）钝角三角形情况与锐角三角形相同。恰好满足勾股定理。方法三：解析几何方法利用两点间距离公式这里我们只讨论锐角三角形的情形，对于直角三角形和钝角三角形的情形的讨论相同。如图所示建立坐标系同理可得：b2二a2c2-2accosB,a2二b2c2-2bccosA（1）推导（*）中，AC与CB的夹角应通过平移后得到，即向量的起点应重合，因此AC与CB的则点A(0,0)，B(c,0)，C(bcos代bsinA)
9、由B、C两点间的距离可知，|BC(bcosA-c)2(bsinA-0)2即ab2c2-2bccosA整理得到a2二b2c2-2bccosA（二）余弦定理的变形公式：.22222.22.22Ab+cara+cb小a+b-ccosA,cosB,cosC2bc2ac2ab（三）利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题：已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角；已知三角形的三条边，求其三个角。知识点四：解三角形解三角形。一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作规律方法指导1. 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两
10、边和其中一边的对角，求另一边的对角；2. 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。3. 解斜三角形的基本三角问题：特别说明：已知a，b和A,用正弦定理求B时的各种情况；无解一解（直角）二解（一锐，一钝）一解（锐角）（1）若A为锐角时如图:a：bsinAa二bsinAbsinA:a：b已知条件解法解的情况一边和两角（例如a,B,C）1 .利用A+B+C=180,求A2 .应用正弦定理求b,c唯一解两边和夹角（例如a,b,C）1 应用余弦定理求边c2 应用正弦定理求a,b中较短的边所对的角（该角一定是锐角）3 .利
11、用A+B+C=180,求第三个角.唯一解三边（例如a,b,c）法一:1、应用余弦定理先求任意两个角2.用A+B+C=180,求第三个角法二:1、应用余弦定理求a,b,c中最长边所对的角2、应用正弦定理求余下两个角中的任意一个（该角一定是锐角）3、利用A+B+C=180,求第三个角唯一解两边及其中一边的对角（例如a,b,A）此类问题首先要讨论解的情况1应用正弦定理，求另一边的对角（即角B）2、利用A+B+C=180,求第三个角3、应用正弦或余弦定理求第三边两解、一解或无解(2)右A为直角或钝角时：a_b无解ab一解(锐角)注意：对于求解三角形的题目，从而舍掉不合理的解。比如下面例一般都可有两种思路。但要注意方法的选择，冋时要注意对解的讨论，2两种方法不同，因此从不同角度来对解进行讨论。此外，有的时候还要对边角关系(例如，大边对大角)进行讨论从而舍掉不合理的解。4. 判断三角形形状判断三角形形状的常用方法：(1) 统一成边；(2) 统一成角；(3) 边角一起化
