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1、八、函数的周期性 主要知识：周期函数的定义：对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，则（）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期.几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数满足对定义域内任一实数（其中为常数）, ，则是以为周期的周期函数； ，则是以为周期的周期函数；，则是以为周期的周期函数； ，则是以为周期的周期函数；，则是以为周期的周期函数.，则是以为周期的周期函数.，则是以为周期的周期函数.函数满足（），若为奇函数，则其周期为，若为偶函数，则其周期为.函数的图象关于直线和都对称，则函数是以为周期的周期函数；函数的图象关于两点、都对称
2、，则函数是以为周期的周期函数；函数的图象关于和直线都对称，则函数是以为周期的周期函数；3、图象的对称性一个函数的对称性：1、函数的图象关于点对称特殊的有： 函数的图象关于点对称。 函数的图象关于原点对称（奇函数）。 函数是奇函数关于点 对称。 ，函数关于点 对称2、两个函数的对称性：与关于X轴对称。与关于Y轴对称。与关于直线对称。函数与函数的图象关于直线对称.函数与函数关于直线对称。特殊地: 与函数的图象关于直线对称 与关于直线对称。 关于点(a,b)对称。 关于直线对称例1 定义在R上的非常数函数满足：为偶函数，且，则一定是（ ）A. 是偶函数，也是周期函数B. 是偶函数，但不是周期函数C.
3、 是奇函数，也是周期函数D. 是奇函数，但不是周期函数解：因为为偶函数，所以。所以有两条对称轴，因此是以10为其一个周期的周期函数，所以x0即y轴也是的对称轴，因此还是一个偶函数。故选（A）。例2 设是定义在R上的偶函数，且，当时，则_解：因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以的对称轴；又因为的对称轴。故是以2为周期的周期函数，所以例3 函数的图像的一条对称轴的方程是（ ）解：函数的图像的所有对称轴的方程是，所以，显然取时的对称轴方程是，故选（A）。例4 设是定义在R上的奇函数，且的图象关于直线，则：_解：函数的图像既关于原点对称，又关于直线对称，所以周期是2，又，图像关于对称，所以，所以例5
4、、函数对于任意实数满足条件，若则_。练习1.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)= f(1x),当1x0时，f (x) = x，则f (8.6 ) = _ （第八届希望杯高二 第一试题）解：f(x)是定义在R上的偶函数x = 0是y = f(x)对称轴；又f(1+x)= f(1x) x = 1也是y = f (x) 对称轴。故y = f(x)是以2为周期的周期函数，f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (0.6 ) = 0.3练习2设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)= f(x),当0x1时，f (x) = x，则f (7.5 ) = （
5、 ） (A) 0.5(B)0.5(C) 1.5(D) 1.5解：y = f (x)是定义在R上的奇函数，点（0，0）是其对称中心； 又f (x+2 )= f (x) = f (x)，即f (1+ x) = f (1x)， 直线x = 1是y = f (x) 对称轴，故y = f (x)是周期为2的周期函数。 f (7.5 ) = f (80.5 ) = f (0.5 ) = f (0.5 ) =0.5 故选(B)练习3（08湖北卷6）已知在R上是奇函数，且A A.-2 B.2 C.-98 D.98练习4、（08四川卷）函数满足，若，则( C )（） （） （） （）练习5、（2010安徽理数）
6、若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)=1，f(2)=2则的值为（ ）A、 B、1 C、 D、2练习6、（09江西卷）已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，则的值为 ( C )A B C D练习7、2009广东三校一模）定义在上的函数是奇函数又是以为周期的周期函数,则等于( B )A.-1 B.0 C.1 D.4 练习8、（2009全国卷理）函数的定义域为R，若与都是奇函数，则( D ) A、2009 B、-2009 C 、-2 D.、2练习9、的定义域是，且,若求f(2008)的值。解：周期为8，练习10、已知函数f（x）的定义域为R，则下列命题中：若f（x2）是偶函数，则函
7、数f（x）的图象关于直线x2对称；若f（x+2）f（x2），则函数f（x）的图象关于原点对称；函数yf（2+x）与函数yf（2x）的图象关于直线x2对称；函数yf（x2）与函数yf（2x）的图象关于直线x2对称.其中正确的命题序号是 .【解析】 是错误的，由于f（x2）是偶函数得f（x2）f（x2），所以f（x）的图象关于直线x2对称；是错误的，由f（x+2）f（x2）得f（x+4）f（x），进而得f（x+8）f（x），所以f（x）是周期为8的周期函数；是错误的，在第一个函数中，用x代x，y不变，即可得第二个函数，所以这两个函数图象关于y轴对称；是正确的，令x2t，则2xt，函数yf（t）与y
8、f（t）的图象关于直线t0对称，即函数yf（x2）与yf（2x）的图象关于直线x2对称.练习11、f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f（2）0，则方程f（x）0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 ( D )A2 B3 C4 D5【解析】 f（x）为奇函数，f（0）0，又函数f（x）以3为周期，且f（2）0，f（2）0，f（1）0，f（4）0，f（3）0，f（5）0，在区间（0，6）内的解有1，2，3，4，5.故选D.练习12、对函数f（x），当x（，）时，f（2x）f（2+x），f（7x）f（7+x），在闭区间0,7上，只有f（1）f（3）0.（1）试判断函数yf（x）的奇偶性；（
9、2）试求方程f（x）0在闭区间2005，2005上的根的个数，并证明你的结论.【分析】 由已知f（2+x）f（2x），f（7x）f（7+x）知f（x）的图象有两条对称轴x2和x7，从而知f（x）是周期为10的周期函数，又在区间0，7上，只有f（1）f（3）0，画图易知，它是非奇非偶函数，且在一个周期0，10上只有2个根，故易求得方程f（x）0在的根的个数.【解】 （1）由已知得f（0）0，f（x）不是奇函数，又由f（2x）f（2+x），得函数yf（x）的对称轴为x2，f（1）f（5）0，f（1）f（1），f（x）不是偶函数.故函数yf（x）是非奇非偶函数；（2）由 f（4x）f（14x） f（
10、x）f（x+10），从而知yf（x）的周期是10.又f（3）f（1）0，f（11）f（13）f（7）f（9）0，故f（x）在0，10和10，0上均有两个解，从而可知函数yf（x）在0，2005上有402个解，在上2005，0有400个解，所以函数yf（x）在2005，2005上有802个解.九、函数的图象1描绘函数图象的基本方法有两种：描点法与图象变换法。2描点法：通过 、 、 三步，画出函数的图象，有时可利用函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性）以利于更简便的画出函数的图象。3函数图象变换：.图象变换法(1)平移变换水平平移：y=f(xa)(a0)的图象，可由y=f(x)的图象向左(
11、+)或向右(-)平移a个单位而得到.竖直平移：y=f(x)b(b0)的图象，可由y=f(x)的图象向上(+)或向下(-)平移a个单位而得到.(2)对称变换y=f(-x)与y=f(x)关于y轴对称.y=-f(x)与y=f(x)关于x轴对称.y=-f(-x)与y=f(x)关于原点对称.y=f-1(x)与y=f(x)关于直线y=x对称.y=|f(x)|的图象可将y=f(x)的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴作y=f(x)的图象的对称部分，其余部分不变.y=f(|x|)的图象可将y=f(x),x0的部分作出，再利用偶函数的图象关于y轴的对称性，作出x0的图象.(3)伸缩变换y=Af(x)(A0)的图
12、象，可将y=f(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的A倍，横坐标不变而得到.y=f(ax)(a0)的图象，可将y=f(x)图象上所有点的横坐标缩小原来的倍，纵坐标不变而得到.1.作出下列函数的图象：；2、已知函数f(x)=(a0且a1),在同一直角坐标系中,如图所示,y=f-1(x)与y=a|x-1|的图象可能是( )解析：y=f-1(x)=ax+1,恒过点(0,1),排除C.当a1时,y=ax+1的斜率大于1.y=a|x-1|在(1,+)上是增函数,在(-,1)上是减函数,故排除A、B,选D.答案：D3、设奇函数f(x)的定义域为-5,5，若当x0,5时，f(x)的图象如图，则不等式f(x)
13、0的解是_.解析：由奇函数的图象关于原点对称可画出函数f(x)在-5,0上的图象，由图象可直观地得到f(x)0的解.答案：-2x0或2x54、关于x的方程|x2-4x+3|-a=x恰有三个不相等的实数根，则实数a的值是_.方法点拨：方程根的个数可化为图象交点个数来解决.解析：原方程化为|x2-4x+3|=x+a.作函数y=|x2-4x+3|及y=x+a的图象如图2-8-4所示，由图可知当a=或a=-1时，两图象恰有三个交点，即原方程有三个实数解.答案：或-15、(2007北京朝阳期末,3)已知a0,a1,函数y=ax,y=loga(-x)的图象大致是下面的( )解析：当a1时,y=ax过(0,1)为增函数,y=loga(-x)过(-1,0)为减函数,B正确.答案：B6、为了得到函数y=2x-3-1的图象，只需把函数y=2x的图象上所有的点(
