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1、专 题一元二次方程的解法教学目标1. 理解一元二次方程及其有关概念2. 会解一元二次方程,并能熟练运用四种方法去解重点、难点1. 一元二次方程的判定,求根公式2. 一元二次方程的解法与应用考点及考试要求1. 一元二次方程的定义,一般形式,配方式2. 熟练一元二次方程的解法能灵活运用:直接开平法,配方法.,因式分解,公式法去3. 一元二次方程在实际问题中的综合应用教学内容考点一、概念(1)定义:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2,这样的整式方程就是一元二次方程。 (2)一般表达式:注:当b=0时可化为这是一元二次方程的配方式(3)四个特点:(1)只含有一个未知数;(2)且未知数次数最高次
2、数是2;(3)是整式方程要判断一个方程是否为一元二次方程,先看它是否为整式方程,若是,再对它进行整理如果能整理为的形式,则这个方程就为一元二次方程 (4)将方程化为一般形式:时,应满足(a0)(4)难点:如何理解 “未知数的最高次数是2”:该项系数不为“0”;未知数指数为“2”;若存在某项指数为待定系数,或系数也有待定,则需建立方程或不等式加以讨论。典型例题:例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是( )A B C D 变式:当k 时,关于x的方程是一元二次方程。例2、方程是关于x的一元二次方程,则m的值为 。考点二、方程的解概念:使方程两边相等的未知数的值,就是方程的解。应用:利用根的概念
3、求代数式的值; 典型例题:例1、已知的值为2,则的值为 。例2、关于x的一元二次方程的一个根为0,则a的值为 。说明:任何时候,都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制.例3、已知关于x的一元二次方程的系数满足,则此方程必有一根为 。说明:本题的关键点在于对 “代数式形式”的观察,再利用特殊根“-1”巧解代数式的值。例4、已知是方程的两个根,是方程的两个根,则m的值为 。例5、已知,求 变式:若,则的值为 。6、方程的一个根为( )A B 1 C D 7、若 。考点三、方程解法(1)基本思想方法:解一元二次方程就是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。(2)方法:直接开方法;因式分解法;配方法
4、;公式法类型一、直接开方法: 就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如 对于,等形式均适用直接开方法典型例题:例1、解方程: (2) (4) (5)例2、解关于x的方程:3. 下列方程无解的是( )A. B. C. D.类型二、配方法基本步骤 :1.先将常数c移到方程右边 2.将二次项系数化为1 3.方程两边分别加上一次项系数的一半的平方4.方程左边成为一个完全平方式: 在解方程中,多不用配方法;但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。典型例题:例1、试用配方法说明的值恒大于0,的值恒小于0。例2、已知x、y为实数,求代数式的最小值。例3、已知为实数,求的值。变式1
5、:已知,则 .例4、分解因式:类型三、因式分解法: 把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法方程特点:左边可以分解为两个一次因式的积,右边为“0”,方程形式:如, ,分解方法:提公因式,利用平方差与完全平方公式,十字相乘法针对练习:例1、的根为( )A B C D 例2. (1)(平方差) (2) (提公因式) (3)(平方差) (4) (完全平方式) (5) (完全平方式) (6)(十字相乘法) (7)(十字相乘法) (8)
6、(提公因式)例3、若,则4x+y的值为 。例4、方程的解为( )A. B. C. D.例5、解方程: 例6、已知,则的值为 。变式:已知,且,则的值为 。例7、解下列方程(1) (2x 3)2 = (3x 2)2 (2) -= x+2 (4) 5m2 17m + 14=0 (5) (x2 +x+1)(x2 +x + 12)=42 (6) 2x2 + (3a-b)x 2a2+3ab- b2 =0类型四、公式法:把一元二次方程化成一般形式,然后计算判别式的值,当判别式大于等于零时,把各项系数a, b, c的值代入求根公式,就可得到方程的根。 条件:公式: ,典型例题:例1、选择适当方法解下列方程:
7、 说明:解一元二次方程时,首选方法是因式分解法和直接开方法、其次选用求根公式法;一般不选择配方法。例2、在实数范围内分解因式:(1); (2). 说明:对于二次三项式的因式分解,如果在有理数范围内不能分解,一般情况要用求根公式,这种方法首先令=0,求出两根,再写成=.分解结果是否把二次项系数乘进括号内,取决于能否把括号内的分母化去.类型五、 “降次思想”的应用主要内容:求代数式的值;解二元二次方程组。典型例题:例1、已知,求代数式的值。例2、如果,那么代数式的值。例3、已知是一元二次方程的一根,求的值。说明:在运用降次思想求代数式的值的时候,要注意两方面的问题:能对已知式进行灵活的变形;能利用
8、已知条件或变形条件,逐步把所求代数式的高次幂化为低次幂,最后求解。例4、用两种不同的方法解方程组说明:解二元二次方程组的具体思维方法有两种:先消元,再降次;先降次,再消元。但都体现了一种共同的数学思想化归思想,即把新问题转化归结为我们已知的问题.考点四、根与系数的关系前提:对于而言,当满足、时,才能用韦达定理。主要内容:应用:整体代入求值。典型例题:例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程的两根,则这个直角三角形的斜边是( ) A. B.3 C.6 D.说明:要能较好地理解、运用一元二次方程根与系数的关系,必须熟练掌握、之间的运算关系.例2、解方程组:说明:一些含有、的二元二次方程组,除可
9、以且代入法来解外,往往还可以利用根与系数的关系,将解二元二次方程组化为解一元二次方程的问题.有时,后者显得更为简便.例3、已知关于x的方程有两个不相等的实数根,(1)求k的取值范围;(2)是否存在实数k,使方程的两实数根互为相反数?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由。例4、已知,求 变式:若,则的值为 。例5、已知是方程的两个根,那么 .测试题目: 一、选择题1解方程:3x2+27=0得( ).(A)x=3 (B)x=-3 (C)无实数根 (D)方程的根有无数个2方程(2-3x)+(3x-2)2=0的解是( ).(A),x2=-1 (B) ,(C)x1=x2= (D) ,x2=13.方程
10、(x-1)2=4的根是( ).(A)3,-3 (B)3,-1 (C)2,-3 (D)3,-24.用配方法解方程:正确的是( ).(A) (B)(C),原方程无实数解 (D) 原方程无实数解5.一元二次方程用求根公式求解,先求a,b,c的值,正确的是( ).(A) a=1,b= (B)a=1,b=-,c=2(C)a=-1,b=- ,c=-2 (D)a=-1,b=,c=26用公式法解方程:3x2-5x+1=0,正确的结果是( ).(A) (B) (C) (D)都不对二、填空7方程9x2=25的根是_.8.已知二次方程x2+(t-2)x-t=0有一个根是2,则t=_,另一个根是_.9.关于x的方程6
11、x2-5(m-1)x+m2-2m-3=0有一个根是0,则m的值为_.10.关于x的方程(m2-m-2)x2+mx+n=0是一元二次方程的条件为_.11.方程(x+2)(x-a)=0和方程x2+x-2=0有两个相同的解,则a=_.三、用适当的方法解下列关于x和y的方程12(x+2)(x-2)=1. 13.(3x-4)2=(4x-3)214.3x2-4x-4=0. 15.x2+x-1=0.16.x2+2x-1=0. 17.(2y+1)2+3(2y+1)+2=0.18.2x2- 19.x2-bx-2b2=0.20.a2x2+2abx+b2-4=0(a0). 21(b-c)x2-(c-a)x+(a-b
12、)=0(ac)22用因式分解法、配方法、分式法解方程2x2+5x-3=0.(A) 因式分解法 (B)配方法 (C)公式法23解方程:(1) (2)24已知|2m-3|=1,试解关于x的方程3mx(x+1)-5(x+1)(x-1)=x225、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品,据市场分析,若按每千克50元销售,一个月能售出500千克,销售单价每涨1元,月销售量就减少10千克,针对此回答:(1)当销售价定为每千克55元时,计算月销售量和月销售利润。(2)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下,使得月销售利润达到8000元,销售单价应定为多少?26、将一条长20cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2,那么这两段铁丝的长度分别为多少?(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗?若能,求出两段铁丝的长度;若不能,请说明理由。(3)两个正方形的面积之和最小为多少? 1