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1、精选优质文档-倾情为你奉上基本思想的含义、作用与渗透途径东北师范大学南湖实验学校 孔凡哲 福建教育2012年第9期数学学习究竟学什么？除了知识、技能，还有什么？对于这个问题的思考，仁者见仁，智者见智。其中，弗莱登塔尔提出的“与其说学数学倒不如说学数学化”最具代表性，并被世界各国普遍认同。“学会数学化”已经成为数学教育的核心目标和国际趋势。所谓“数学化”，其实可以细化为“现实问题数学化”“数学内部规律化”和“数学内容现实化”，其核心是数学抽象、数学推理和数学模型。一、基本思想的含义、作用与类别1含义所谓思想，一般是指客观存在、反映在人的意识中经过思维活动而产生的结果，是人类一切行为的基础。简单地
2、说，思维之思维即思想。所谓数学的基本思想，是指数学科学赖以产生、发展的那些思想，是学生领会之后能够终生受益的思想。史宁中教授在专著数学思想概论（第1辑）中指出的，“数学思想是指数学发展所依赖、所依靠的思想至今为止，数学发展所依赖的思想在本质上有三个：抽象、推理、模型。”虽然在解决具体问题时会涉及数学抽象、数学模型、等量替换、数形结合等数学思想，但是最上位的思想还是抽象思想、推理思想和模型思想(亦可称之为建模思想)。2.作用从方法论的角度分析，我国中小学数学教育的优势在于基础知识（概念记忆与命题理解）扎实、基本技能（证明技能与运算技能）熟练，这与“数学双基教育”所希望达到的目的是一致的。但是，从
3、人的发展的角度考虑，特别是从培养创新性人才的角度考虑，这种知识靠记忆、技能靠熟练的教学依赖于“熟能生巧”的传统模式，仅靠这些是不够的、甚至是不利的。事实上，真理的发现主要靠归纳（即广义的归纳），而验证、证明真理需要靠演绎。因此，必须将基本思想、基本活动经验放到与基础知识、基本技能同等重要的位置，这正是2011年版课标的亮点之一。让学生体会基本思想和积累基本活动经验是培养创新人才的需要。其实，创新在本质上源于归纳思维能力。而归纳能力建立在实践的基础上，归纳能力的培养可能会更依赖于“过程的教育”，依赖于经验的积累。这种积累正是基本思想的体会和感悟的过程、基本活动经验的积累和形成的过程，也就是说，基
4、本思想、基本活动经验只能在过程中加以培养，而不能采取简单的结果式的教育方式。这里的“过程的教育”并不是指在授课时要讲解、或者让学生经历知识产生的过程，甚至不是指知识的呈现方式，而是指学生探究的过程、学生思考的过程、学生抽象的过程、学生预测的过程、学生推理的过程、学生反思的过程等。通过这些过程，学生能亲身感悟归纳、演绎的思想与方法，逐渐积累归纳、演绎并举的思考与实践的经验，进而逐步形成数学的思维方式和思维能力，这些恰恰被我们以往的数学课堂教学所忽视。3.类别中小学数学课程教学的核心目标在于“学会数学化”。按照具体过程，“数学化”可以细分为“现实问题数学化”“数学内部规律化”和“数学内容现实化”，
5、分别对应着一种基本思想。（1）现实问题数学化抽象。“现实问题数学化”就是将现实问题进行适度的抽象，将其转化为数学问题，其中的核心就是数学抽象。抽象虽然不是数学所独有的，但是，数学抽象是对数量关系和空间形式的抽象，是一种特殊的抽象。数学的本质是研究抽象了的东西，而这些抽象了的东西来源于现实世界，是被人抽象出来的。数学抽象的对象既可以是现实世界中的数量关系和空间形式，也可以是数学思维中的数量关系和空间形式。真正的知识来源于感性的经验并通过直观和抽象而得到，并且这种抽象不能独立于人的思维而存在。抽象是思维的基础，因为只有具备了一定的抽象能力，才可能从感性认识中获得事物（事件或实物）的本质特征，从而上
6、升到理性认识。（2）数学内部规律化推理。数学内部的发展得益于数学推理，其中，推理既包括演绎推理，也包括广义的归纳推理；而数学结构的建立得益于公理化，将数学整理成一个内部条理、简捷、完备的体系。数学内部结构的奠基性工作需要借助公理化，而数学内部的发展需要借助推理来完成。小学数学中渗透了一点点公理化的思想，而初中数学中已经有明确的公理化思想，建立明确的、相对完备的几何公理体系。（3）数学内容现实化建模。数学的一种重要任务（也是数学赖以发展的重要动力）就是“数学内容现实化”，亦即主动寻找数学内容的现实原型，主动利用数学发现现实世界中的问题、提出数学问题，并加以分析和解决，其中的核心就是数学模型。总之
7、，在中小学数学中，最重要的基本思想是数学抽象、数学推理与数学建摸，这些对学生在数学上的终生可持续发展有益。二、基本思想与数学思想方法的关系2001年实验稿课标中首次提出“基本的数学思想方法”目标，2011年版课标中提出数学的“基本思想”目标。数学的“基本思想”和“基本的数学思想方法”有何关系？经过10年课改，大家普遍认为,所有的数学思想构成了一个分层的结构，包括：上位的基本思想，如抽象、推理、建模；下位的数学思想，如等价替换、数形结合、递归等；具体的数学方法，如合并同类项、配方、换元等。数学的基本思想是指数学科学赖以发展的核心思想，是数学的重要思想、核心思想，不同于一般的数学思想。史宁中教授认
8、为，基本思想是数学教学的主线，是最上位的数学思想。他给出基本思想的两个判断标准，一是数学的产生和发展所依赖的思想，二是学过数学和没有学过数学的人在思维上的根本差异。由此，他确定出数学的三个基本思想，即抽象思想、推理思想、建模思想，把常见的数形结合思想、分类思想、集合思想、归纳思想、方程思想、函数思想等作为基本思想派生出的下位的数学思想。南开大学顾沛教授对数学思想方法进行了全面的梳理，他认为：由抽象思想派生出的下位的数学思想有分类思想、集合思想、数形结合思想、变中有不变思想、符号表示思想、对应思想等；由推理思想派生出的下位的数学思想有归纳思想、演绎思想、转化思想、化归思想、类比思想、逼近思想、代
9、换思想等；由建模思想派生出的下位的数学思想有化简思想、量化思想、函数思想、方程思想、优化思想、随机思想等。他还指出：在用数学思想解决具体问题时，逐渐形成的程序化操作，就构成了具体的数学方法。可见，数学思想方法是数学思想与数学方法的汇合体，是过去人们的一种习惯性说法，而不是一种独立的数学对象。2011年版课标之所以用“基本思想”而不用“基本思想方法”，主要就是要与换元法、递归法、配方法等具体的数学方法区别开来。事实上，每一个具体的方法可能是重要的，但是这些方法并不具有一般性、普适性，因而,经过一段时间，学生很可能就忘却了。2011年版课标的教育理念的根基，是学生的全面、健康、和谐、可持续发展，即
10、人的全面发展观。学生学习数学所获得的数学的基本思想，应该是让学生终生受用的那些数学思想，而不是一招一式的细微的思想，更不是解题术。这与曾经流行的MM试验不同，这里的MM试验就是指“数学思想方法的试验”，其中，“数学思想方法”是指各种各样的数学思想，既包括基本思想，也包括层次很低、不具有普适性的下位的数学思想。三、基本思想的渗透途径2011年版课标在阐述总体目标的“知识技能”目标中指出的：“经历数与代数的抽象、运算与建模等过程，掌握数与代数的基础知识和基本技能。经历图形的抽象、分类、性质探讨、运动、位置确定等过程，掌握图形与几何的基础知识和基本技能。经历在实际问题中收集和处理数据、利用数据分析问
11、题、获取信息的过程，掌握统计与概率的基础知识和基本技能。参与综合实践活动，积累综合运用数学知识、技能和方法等解决简单问题的数学活动经验。”这种表述方式实际上已经明确指出，基本思想、基本活动经验的培养要与基础知识、基本技能的学习融为一体。1.抽象思想的渗透数学抽象的基本思想存在于数学概念、命题的发展过程之中，因此，在获得概念、命题的同时，也要引导学生体会和感悟数学中的抽象思想。以下将结合“27+5=？”的教学，谈谈“两位数加一位数的进位加法”中抽象思想的渗透。借助“10个鸡蛋一盒”这个非常现实的经验，直观地呈现：27表示有2盒鸡蛋和1盒不满的鸡蛋（即不满的盒子里有7个鸡蛋，这意味着有3个空位），
12、另有5个鸡蛋。一共几个鸡蛋呢？借助生活经验，学生很自然地将5个鸡蛋中的3个拿出来，填补在第3盒鸡蛋的3个空位上，即将空位补齐，凑成一整盒，余下2个鸡蛋。这就是，将5分成3与2的和，而3与27凑成30，因而，结果是32。这是最朴素的“凑十进位”，而这里的“一（整）盒”就是最直接、最形象的“十位”，属于典型的借助“实物”的直接抽象。2.推理思想的渗透数学推理的基本思想存在于数学内部的发展之中，需要分类引导学生进行体会和感悟。例如，教学“两位数乘两位数的乘法”时，当大部分学生能比较熟练地进行两位数乘两位数的计算后，教师可以出示如下的问题：计算1211、1311、1511、1711，你有什么发现？用你
13、刚才的发现，猜一猜4511应该得多少？然后，用竖式算一算，看看你的猜测是否正确？需要修改你的发现吗？用1163再验证一次修改后的结论。总结你的发现，说一说其中的道理。上面的教学过程让学生在巩固基础知识、基本技能的过程中，经历 “个案1、个案n 归纳出一个共性规律，猜测验证自己的猜测得出一般的结论”的思维过程，不仅获得知识，也感受“数学家式”的思考过程、数学真理的“发现”过程，获得普适性的思维经验：先分析个案1，再分析个案2尝试归纳其共性的规律；接着，将猜得的结论用于新的个案上，分析理论上的结果，并利用实际操作验证（如果吻合，确认结论；如果有问题，修正猜想，做出一个更贴切的猜想）。3.模型思想的
14、渗透数学模型是数学联系外部世界的桥梁，需要重点关注，并在教学中渗透，让学生逐步形成模型思想。如采用列方程的方法解决典型的鸡兔同笼问题“今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何”时，关键在于建立方程“模型”，其抽象过程如下：发现问题中的等量关系，即“鸡脚数与兔脚数之和，就是总脚数；鸡头数与兔头数之和，就是总头数；每只鸡的脚数比每只兔的脚数多2”，并用自然语言表达出来。用等式表达关系，即鸡脚数 + 兔脚数=总脚数，鸡头数+兔头数=总头数，每只鸡的脚数 =每只兔的脚数-2。用符号语言表达关系，即+ =35，2+4 =94，其中, 表示鸡的总头数，表示兔的总头数， 2表示鸡的总脚数, 4
15、表示兔的总脚数。用含有未知数的方程表达关系，即设笼中有兔x只,由第一个关系知道鸡有35-x只，于是，兔的总脚数为4x，鸡的总脚数为2（35-x）。将这个关系带入另一个等式，得2(35-x) +4x=94。至于解方程，其基本思路就是，将含有未知数的项放在方程的一边，将不含未知数的项放在另一边，进行代数式化简和计算。可见，利用列一元一次方程解决问题，核心在一元一次方程建模的过程，即发现问题中的等量关系用等式表达关系用符号语言表达关系用含有未知数的方程表达关系一元一次方程。总之，对于数学的基本思想的体会和感悟,必须融入数学知识、技能的日常教学之中，必须持续不断地进行渗透，不宜孤立地进行。首先，在数学概念、命题等的形成过程中，要重点引导学生体会和感悟抽象思想，这是体会抽象思想的主渠道。其次，在数学概念、数学技能和数学命题、法则等的教学中，要特别关注归纳、类比、逻辑推理等下位数学思想的体会，不仅要将归纳思维作为小学生获得数学新知的重要手段，更要将归纳思想的体会、归纳思维的培养放置到与演绎思维的培养同等重要的位置。最后，在数学应用中,要重视引导学生体会建模思想，经历数学建模的过程，即“现实问题数学问题数学问题的解现实问题的解”，让学生获得数学建模的直接经验和体验，进而逐步体会、感悟建模思想。简言之,“四基”目标应该是一个整体，需要统筹考虑，而不能厚此薄彼。专心-专注-专业
