《高中数学4.1.3一元二次方程根的分布导学案无答案北师大版必修1》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学4.1.3一元二次方程根的分布导学案无答案北师大版必修1(4页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、一元二次方程根的分布(必修1第四章)一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。这部分知识在初中代数中虽有所涉及,但尚不够系统和完整,且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理(韦达定理)的运用。函数与方程思想:若=与轴有交点()=0若=()与=()有交点(,)=有解。下面我们将主要结合二次函数图象的性质,分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的充要条件及其运用。一一元二次方程根的基本分布零分布所谓一元二次方程根的零分布,指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根,有一负根,其实就是指这个二次方程一个根比零大,一个根比零小,或者说,这两个根分布在零的两侧。设一元二次方程(
2、)的两个实根为,且。【定理1】(两个正根),(两个正根),推论:,或上述推论结合二次函数图象不难得到。【例1】 若一元二次方程有两个正根,求的取值范围。分析:依题意有03)【定理3】(两根异号)【例3】 在何范围内取值,一元二次方程有一个正根和一个负根?分析:依题意有03二一元二次方程的非零分布分布设一元二次方程()的两实根为,且。为常数。则一元二次方程根的分布(即,相对于的位置)有以下若干定理。【定理1】(两根都大于k)【定理2】(两根都小于k)。【定理3】(一根大于k一根小于k)。推论1 。推论2 。【定理4】(在中只有一个根)这种情况比较复杂,分以下三类讨论:;由(或者)算出另一根,看是
3、否落在区间内【定理5】或此定理可直接由定理4推出,请读者自证。【定理6】(两根都在内)或三、例题与练习【例4】 已知方程的两实根都大于1,求的取值范围。()(2)若一元二次方程的两个实根都大于-1,求的取值范围。 ()(3)若一元二次方程的两实根都小于2,求的取值范围。 ()【例5】 已知方程有一根大于2,另一根比2小,求的取值范围。 ()(2)已知方程有一实根在(0,1)内,求的取值范围。 ()(3)已知方程的较大实根在(0,1)内,求实数的取值范围。 变式:改为较小实根 (;)(4)若方程的两实根均在区间(,1)内,求的取值范围。 ()(5)若方程的两根中,一根在0和1之间,另一根在1和2
4、之间,求的取值范围。 ()(6)已知关于的方程的两根为且满足,求的取值范围。 (或)【例6】 已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1)若方程有两根,其中一根在区间(1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求m的范围.(2)若方程两根均在区间(0,1)内,求m的范围.本题重点考查方程的根的分布问题,解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义.技巧与方法:设出二次方程对应的函数,可画出相应的示意图,然后用函数性质加以限制.解:(1)条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(1,0)和(1,2)内,画出示意图,得.(2)据抛物线与x轴交点落在区
5、间(0,1)内,列不等式组(这里0m1是因为对称轴x=m应在区间(0,1)内通过)练习:1 若方程有两个不相同的实根,求的取值范围。提示:令=转化为关于的一元二次方程有两个不同的正实根。答案:012 若关于的方程有唯一的实根,求实数的取值范围。提示:原方程等价于即令=+12+6+3(1) 若抛物线=与轴相切,有=1444(6+3)=0即=。O206将=代入式有=6不满足式,。(2) 若抛物线=与轴相交,注意到其对称轴为=6,故交点的横坐标有且仅有一个满足式的充要条件是解得。当时原方程有唯一解。另法:原方程等价于+20=863(0)O2061633问题转化为:求实数的取值范围,使直线=863与抛
6、物线=+20(0)有且只有一个公共点。虽然两个函数图像都明确,但在什么条件下它们有且只有一个公共点却不明显,可将变形为+12+3=6(0),再在同一坐标系中分别也作出抛物线=+12+3和直线=6,如图,显然当36163即时直线=6与抛物线有且只有一个公共点。3 已知=()()2(),并且,是方程=0的两根(),则实数,、的大小关系是()A、B、C、D、0)的两个根都大于1的等价条件是()A、 0且(1)0B、 (1)0且2C、 0且2,1D、 0且(1)0,2。函数零点与图像综合应用(必修1第四章)一、零点定理的理解1已知a是函数的零点,若0x0a,则f(x0)的值满足( )Af(x0)=0
7、Bf(x0)0 Cf(x0)0 Df(x0)的符号不确定2已知函数有三个不同零点,则实数a的取值范围为 3函数的定义域为,图象如图1所示;函数的定义域为,图象如图2所示,方程有个实数根,方程有个实数根,则( ) xxyy-1O1-2-1O121-1-11图1图2A12 B10 C8 D64定义在上的奇函数,当时,则关于的函数的 零点之和为( )A B C D二、根分布的应用5若关于的方程有解,则实数的取值范围是( )A B C D6设函数,给出下列四个命题: ;时,方程只有一个实根 的图象关于 对称 ;方程至多两个实根其中正确的命题是 ( )A B C D三、图像与零点(参数)7对任意实数a,b定义运算“”: ,设,若函数的图象与x轴恰有三个不同交点,则k的取值范围是( )A B C D8已知,是互不相同的正数,且,则的值( )A10 B25 C6 D12 9若表示不超过的最大整数,例如292,415,已知 (),则函数的零点个数是( )A2016 B2015 C2014 D201310已知函数(1)当时,求的零点;(2)若方程有三个不同的实数解,求的值;