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1、2011届高考数学快速提升成绩题型训练圆锥曲线.doc2009届高考数学快速提升成绩题型训练圆锥曲线 1. 已知常数m 0 ，向量a = (0, 1)，向量b = (m, 0)，经过点A(m, 0)，以a+b为方向向量的直线与经过点B(- m, 0)，以b- 4a为方向向量的直线交于点P，其中?R( (1) 求点P的轨迹E; (2) 若，F(4, 0)，问是否存在实数k使得以Q(k, 0)为圆心，|QF|为半径的m,25圆与轨迹E交于M、N两点，并且|MF| + |NF| =(若存在求出k的值;若不35存在，试说明理由( l2 双曲线的实半轴与虚半轴长的积为，它的两焦点分别为F、F，直线过31
2、221tan,lF且与直线FF的夹角为，且，与线段FF的垂直平分线的交点,212122PQ:QF,2:1为P，线段PF与双曲线的交点为Q，且，建立适当的坐标系，22求双曲线的方程. 253. 在直角坐标平面上，O为原点，M为动点，. 过点M作MM|OM|,5,ON,OM15OT,MM，NN?y轴于M，过N作NN?x轴于点N，. 记点T的轨迹为曲线C，点11111A(5，0)、B(1，0)，过点A作直线l交曲线C于两个不同的点P、Q(点Q在A与P之间). (1)求曲线C的方程; (2)证明不存在直线l，使得|BP|=|BQ|; SB,tBQ. (3)过点P作y轴的平行线与曲线C的另一交点为S，若
3、，证明 AP,tAQ54. 已知离心率为的双曲线C的中心在坐标原点，左、右焦点F、F在轴上，x122AF,AF,0双曲线C的右支上一点A使且的面积为1。 ,FAF1212(1) 求双曲线C的标准方程; (2) 若直线与双曲线C相交于E、F两点(E、F不是左右顶点)，l:y,kx，ml且以EF为直径的圆过双曲线C的右顶点D。求证:直线过定点，并求出该定点的坐标。 22xy5.求与双曲线有公共渐进线，且经过点的双曲线的方程。 A,3,23,1，91622PFF,3575xy,6、已知分别是双曲线的左右焦点，是双曲线上的一点，且12:，FPF,FPF=120，求的面积 12127、证明:双曲线上任意
4、一点到两条渐进线的距离的乘积是一个定值 22PAB8、已知半圆的直径为，点在半圆上，双曲线以为焦xyy，,1(0)AB,PPAB，,点，且过点。若，求双曲线的方程。 32229. 已知圆:x+y=c(c,0),把圆上的各点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍2得一椭圆。 ?求椭圆方程,并证明椭圆离心率是与c无关的常数; ?设圆与x轴交点为P，过点P的直线l与圆的另一交点为Q，直线l与椭圆的两交点为M、N，且满足，求直线l的倾斜角。 MN,2PQ22xy10. 已知点(x,y)在椭圆C:(a,b,0)上运动 ，,122aby(,xy)?求点的轨迹C方程; x,3,?若把轨迹C的方程表达式记为:y=f
5、(x)，且在内y=f(x)有最大值，试求0,3,椭圆C的离心率的取值范围。 22xyFCA11. 已知过椭圆右焦点且斜率为1的直线交椭圆于、，,1(a,b,0)22abBN两点，为弦的中点;又函数的图像的一条对称轴的方y,a,sinx，3b,cosx,程是x,。 6C(1) 求椭圆的离心率与k; eONM,C(2) 对于任意一点,试证:总存在角使等式: ,(,R)OM,cos,OA，sin,OB成立. 212. 已知圆k过定点A(a,0)(a,0),圆心k在抛物线C:y=2ax上运动，MN为圆k在y轴上截得的弦. (1)试问MN的长是否随圆心k的运动而变化, (2)当|OA|是|OM|与|ON
6、|的等差中项时，抛物线C的准线与圆k有怎样的位置关系, 22xy，13. 如图，已知椭圆=1(2?m?5),过其左焦点且斜率为1的直线与mm,1椭圆及其准线的交点从左到右的顺序为A、B、C、D，设f(m)=|AB|,|CD| (1)求f(m)的解析式; (2)求f(m)的最值. 114. 已知双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，右准线为一条渐近线l:x,2的方程是过双曲线C的右焦点F的一条弦交双曲线右支于P、Q两y,3x.2点，R是弦PQ的中点. (1)求双曲线C的方程; (2)若在l的左侧能作出直线m:x=a，使点R在直线m上的射影S满足PS,QS,0，当点P在曲线C上运动时，求a的取值范围
7、. 2x215. 设分别是椭圆的左，右焦点。 F,F，y,11245PPF,PF,(?)若是第一象限内该椭圆上的一点，且， 124P求点的坐标。 ，AOB(?)设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角M(0,2)A,Blk(其中O为坐标原点)，求直线的斜率的取值范围。 2y,ax(a,0),过抛物线C上一点P(x,y)(x,0)16. 抛物线C的方程为，作斜率000为的两条直线，分别交抛物线C于A两点(P、A、B三点k,k(x,y),B(x,y)121122互不相同)，且满足 k，,k,0(,0且,1).21(1)求抛物线C的焦点坐标和准线方程; BM,MA, (2)设直线AB上一点M满足
8、证明:线段PM的中点在y轴上; ,1 (3)当时，若点P的坐标为(1，1)，求?PAB为钝角时，点A的纵坐标的取 值范围. 17. 如图，已知点F(1，0)，直线l:x,1为平面上的动点，过P作直线l的垂QP,QF,FP,FQ.线，垂足为点Q，若 1)求动点P的轨迹C的方程; (2)过点M(,1，0)作直线m交轨迹C于A，B两点。 (?)记直线FA，FB的斜率分别为k,k，求k+k1212 的值; |MA|RA|(?)若线段AB上点R满足求证: ,|MB|RB|RF?MF。 18. 已知椭圆C的中心为坐标原点，F、F分别为它的左、右焦点，直 12线x=4为它的一条准线，又知椭圆C上存在点M使2
9、MF,MF,|MF|,|MF|,|MF|,|MF|.121212(1)求椭圆C的方程; PF,FQ，求,PFQ (2)若PQ为过椭圆焦点F的弦，且内切圆面积最大2221,时实数的值. 22xy19. 已知椭圆，通径长为1，且焦点与短轴两端点构成C:，,1(a,b,0)22ab等边三角形. (1)求椭圆的方程; (2)过点Q(,1，0)的直线l交椭圆于A，B两点，交直线x=,4于点E，ABAB点Q分 所成比为，点E分所成比为，求证+为定值，并计算出该定值. 2220. 已知?M:轴上的动点，QA，QB分别切?M于A，Bx，(y,2),1,Q是x42两点，(1)如果，求直线MQ的方程; |AB|,
10、3(2)求动弦AB的中点P的轨迹方程. 答案: 1. 解 (1) ?a+b = ( m,)，? 直线AP方程为y,(x,m);? m又b - 4a =(m, - 4), ? 直线NP方程为4;? y,(x，m),m22y4x222由?、?消去得 y,(x,m)，即 ( ，,1224mm22 故当m = 2时，轨迹E是以(0, 0)为圆心，以2为半径的圆:x + y= 4; 2(,m,4,0)当m 2时，轨迹E是以原点为中心，以为焦点的椭圆: 2(0,4,m)当0 m 0，b0)，设F(c，0)，不妨设的方程为,1222ab2121，它与y轴交点，由定比分点坐标公式，得Q点的y,(x,c)P(0
11、,c)22222214c21c坐标为，由点Q在双曲线上可得，又， ab,3(c,c),122369a36b2y2a,1?，?双曲线方程为. b,3x,13 ,3. (1)设点T的坐标为，点M的坐标为，则M的坐标为(0，)， (x,y)(x,y)y125252525, ，于是点N的坐标为，N的坐标 ON,OM,(x,y)(x,y)155552525, 为，所以 (x,0)MM,(x,0),NN,(0,y).1155,x,x,25,OT,MM，NN,有(x,y),(x,0)，(0,y),所以 由 ,11255,yy,.,5,5, 由此得 x,x,y,y.222y5x2222,|OM|,5,有x，y
12、,5,所以x，(y),5,得，,1, 由 254即所求的方程表示的曲线C是椭圆. 3分 (2)点A(5，0)在曲线C即椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆C 无交点，所以直线l斜率存在，并设为k. 直线l的方程为 y,k(x,5).22,xy，,1,2222 由方程组得(5k，4)x,50kx，125k,20,0.54,y,k(x,5),552 依题意,20(16,80k),0,得,k,. 5555R(x,y),k, 当时，设交点P(x,y),Q(x,y),PQ的中点为， 0011225522x，xkk502512 则x，x,x,.12022k，k，254542k,k2520 ？y
13、,kx,k,(5)(5).0022k，k，5454又 |BP|,|BQ|,BR,l,k,k,1,BR20k2220k225k，4 k,k,k,1,20k,20k,4,BR2225k4,20k1,25k，422 而不可能成立，所以不存在直线l，使得|BP|=|BQ|.7分 20k,20k,4S(x,y),AP,(x,5,y),AQ,(x,5,y) (3)由题意有，则有方程组 111122xtx,5,(,5),(1),12,y,ty,(2)12,22,xy11 由(1)得 (5) x,t(x,5)，5,，,1,(3)1254,22,xy22,，,1.(4)54,222 将(2)，(5)代入(3)有4t(x,5)，5，5ty,20. 2222 整理并将(4)代入得(t,1)，2(1,t)tx，5(1,t),0， 2t,32t,解得x,1,. 易知 2tSB,(1,x,y),BQ,(x,1,y) 因为B(1，0)，S，故，所以 (x,y)112211SB,tBQ,(1,x,y),t(x,1,y),(1,x,t(x,1),y,ty)11221212,(1,t(x,5),5,t(x,1),0),(,4,t(2x,6),0) 2226t,4,(,4,t(,6),0),(0,0),t？SB,tBQ. 22xy4. 解: (1)由题意设双曲线的标准
