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1、. .一、圆的概念集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；固定的端点O为圆心。连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点之间的局部叫做圆弧，简称弧。2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的
2、两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系1、点在圆 点在圆；2、点在圆上 点在圆上；3、点在圆外 点在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 无交点；2、直线与圆相切 有一个交点；3、直线与圆相交 有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离图1 无交点 ；外切图2 有一个交点 ；相交图3 有两个交点 ；切图4 有一个交点 ；含图5 无交点 ；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论1：1平分弦不是直径的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 2弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
3、 3平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：是直径 弧弧 弧弧中任意2个条件推出其他3个结论。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在中，弧弧六、圆心角定理 顶点到圆心的角，叫圆心角。圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，那么可以推出其它的3个结论，即：； 弧弧七、圆周角定理顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫圆周角。1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心
4、的角的一半。即：和是弧所对的圆心角和圆周角2、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在中，、都是所对的圆周角推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在中，是直径 或是直径推论3：假设三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在中，是直角三角形或注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。八、圆接四边形圆的接四边形定理：圆的接四边形的对角互补，外角等于它的对角。 即：在中，四边形是接四边形九、切线的性质与判定定理1切线的
5、判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：且过半径外端是的切线2性质定理：切线垂直于过切点的半径如上图 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：、是的两条切线平分十一、圆幂定理1相交弦定理：圆两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在中，弦、相交于点，2推论：如果弦与直径垂直相
6、交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在中，直径，3切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在中，是切线，是割线4割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等如上图。即：在中，、是割线十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图：垂直平分。即：、相交于、两点垂直平分十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：1公切线长：中，；2外公切线长：是半径之差； 公切线长：是半径之和 。十四、圆正多边形的计算1正三角形 在中是正三角形，有关计算在中进展：；2正
7、四边形同理，四边形的有关计算在中进展，：3正六边形同理，六边形的有关计算在中进展，.十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：1弧长公式：；2扇形面积公式： ：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积2、圆柱： 1A圆柱侧面展开图=B圆柱的体积：2A圆锥侧面展开图=B圆锥的体积：一、圆的定义。1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。2、在同一平面，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。二、圆的各元素。1、半径：圆上一点与圆心的连线段。2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。3、弦：连接圆上两点线段直径也是弦。4、弧：圆上两点之间的曲线局部。半圆周也是弧。1劣弧：小于半圆周
8、的弧。2优弧：大于半圆周的弧。5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。三、圆的根本性质。1、圆的对称性。1圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。2圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。3圆是旋转对称图形。2、垂径定理。1垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。2推论： 平分弦非直径的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。 平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。1同弧所对的圆周角相等。2直径所对的圆周角是直角；圆周角为直角，它所对的弦是
9、直径。4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。5、夹在平行线间的两条弧相等。6、设O的半径为r，OP=d。d= r 点P在O上d d 点P在O内d rr d 点P在O外7、1过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。 2不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心是三边中垂线的交点，它到三个点的距离相等。 直角三角形的外心就是斜边的中点。8、直线与圆的位置关系。d表示圆心到直线的距离，r表示圆的半径。 直线与圆有两个交点，直线与圆相交；直线与圆只有一个交点，直线与圆相切； 直线与圆没有交点，直线与圆相离。d= r 直线与
10、圆相切。d d 直线与圆相交。d rr r1r2， 交点有0个； 外切：d=r1r2， 交点有1个； 相交：r1r2dr1r2，交点有2个； 切：d=r1r2， 交点有1个； 含：0dr1r2， 交点有0个。 2性质。 相交两圆的连心线垂直平分公共弦。 相切两圆的连心线必经过切点。16、圆中有关量的计算。1弧长有L表示，圆心角用n表示，圆的半径用R表示。 L=2扇形的面积用S表示。 S= S=3圆锥的侧面展开图是扇形。 r为底面圆的半径，a为母线长。 扇形的圆心角=S侧=ar S全=arr2 1、圆的有关概念与性质1.圆上各点到圆心的距离都等于 半径 。2.圆是 轴 对称图形，任何一条直径所在的直线
