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1、中学趣味数学：实数连续性的奥秘整数由小到大的变化是跳跃式的从1跳到2，跨过了许多分数有理数从1变到2，中间似乎没有跳跃，因为1与2之间的有理数是密密麻麻的，找不到一段空白其实有理数从l变到2并非连续地变化，因为中间跨过了许多无理数，例如根号2有理数再添上无理数，凑成全体实数我们说，实数是可以连续变化的说变量x从O变到1，是说x要取遍0到1之间的一切实数在直线上取定一个原点，一个单位长和一个方向，直线就成了数轴数轴上的每个点代表一个实数，每个实数都可以用数轴上的一个点表示实数可以连续变化，就是说点可以在数轴上连续地运动如何精确说明这里所说的连续性的含义呢？设想用一把锋利的刀猛砍数轴，把数轴砍成两
2、截这一刀一定会砍在某个点上，即砍中了一个实数如果能够砍在一个缝隙上，数轴就不算连续的了设数轴是从点A处被砍断的这个点A在哪半截数轴上呢？答案是不在左半截上，就在右半截上这是因为点不可分割，又不会消失，所以不会两边都有，也不会两边都没有从以上的假想中领会到所谓数轴的连续性，就是不管把它从什么地方分成两半截，总有半截是带端点的，而另外半截没有端点实数的连续性，也就可以照样搬过来：“把全体实数分成甲、乙两个非空集合，如果甲集里任一个数x比乙集里的任一个数y都小，那么，或者甲集里有最大数，或者乙集里有最小数，二者必居其一，且仅居其一这就叫做实数的连续性”有理数系不满足这个条件如把全体负有理数和平方不超过2的非负有理数放在一起组成甲集，所有平方超过2的正有理数组成乙集，则甲集无最大数，乙集也无最小数若从甲乙两集之间下手砍一刀，就砍在缝里了在实数系中，这个缝就是用无理数根号2填起来的这样把有理数分成甲、乙两部分，使乙中每个数比甲中每个数大，这种分法叫做有理数的一个戴德金分割，简称分割有理数的每个分割确定一个实数有缝隙的分割确定一个无理数，没有缝隙的分割确定一个有理数这样建立实数系的方法是德国数学家戴德金(J.W.R.Dedekind，18311916)提出来的
