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1、 数值分析实验的渐进式教学设计一例 李光云数值分析，是数学的一个重要分支，它不像纯数学那样只研究数学本身的理论，而是把理论与计算紧密结合，着重研究数学问题的数值方法及其理论，是研究分析用计算机求解数学计算问题的数值计算方法及其理论的学科。数值分析课程主要研究使用计算机求解各种数学问题的方法、理论分析及其软件的实现，是科学工程计算的重要理论支撑。它既有纯粹数学的高度抽象性和严密科学性，又有着具体应用的广泛性和实际实验的技术性，是一门与计算机使用密切结合的实用性很强的数学课程。数值分析教学非常注重数值实验，在数值分析教学过程中，学生对算法的理论知识容易掌握，但解决实际问题的能力欠佳，所以在课程的讲
2、授过程中，希望能结合课程特点注重培养学生的实践应用能力和创新能力，从而提高学生的综合能力。故对于数值分析的实验教学改革一直在进行，如何设计好一个深入浅出，层层递进的实验课程，让学生能进门，能走通，也能获得成就感，是摆在笔者和广大教育工作者面前非常重要的一个课题。一、教学设计教学设计是运用系统方法分析教学问题和确定教学目标，确定解决教学问题的策略和方法，试行解决方案，评价试行结果和对方案进行修改的过程，是教师展开教学的关键所在，任何一门好的课程，都离不开精心的教学设计。优秀的老师不但要对理论知识非常熟悉，还需要对知识进行合理地组织和设计，才能把知识传授给学生，从而提高教学效率和教学效果。因此，教
3、学设计一直是教学研究的重要课题。教学设计的改革，是提高教学质量非常重要的一环，一个难易程度合理、条理清晰的教学设计，能让刚入门的学生尽快熟悉相关知识和操作，并且跟着教师的引导一步一步提高自己的能力和水平，最后完成实验之后获得成就感，并且还能有机会在后续的学习中继续运用相关理论和知识进行深入研究。学生接触一个新的课程，不可能一开始就能达到老师期望的理论和实践水平，需要逐层推进，慢慢过渡，最后才能有所创新。那么对于教学设计，一开始应从基础理论的实践出发，逐步提高难度和挑战性，让学生能快速入门，过关斩将，获取知识并提高能力。二、渐进式教学设计对于数值分析实验，我们改变以往一个章节一个实验就结束的传统
4、教学模式，改为逐步推进式实验，分为基础实验，提高实验，综合设计性实验三步骤，让学生在完成课本的知识积累之后，在计算机上实现算法，并且有很大的扩展空间，让动手动脑能力得到大幅提升。为此，我们以数值分析中的线性方程组迭代法实验为例，分析如何设计环环相扣的三个渐进式实验，让学生从课本知识出发，逐步掌握算法，提高对算法的理解，并且进一步改进算法，掌握数值分析算法设计和分析的基本方法。（一）基础实验（验证性实验）依托课本知识，利用数学软件，实现课本算法、验证算法的正确性，就是之前常说的验证性实验。该实验在网上有参考程序，只要跟着算法流程图，首先分解系数矩阵，构造迭代格式，利用循环语句构造迭代序列，即可完
5、成。目的是让学生能通过算法编程，完善对算法的理解，掌握算法编程的细节和注意事项。例如如何快速有效地将系数矩阵分解为上三角阵和下三角阵，如何设置迭代循环，判断何时结束循环，得到发散的迭代序列时如何跳出循环，如何控制结果的输出等。这些基础的编写技巧，可以完成课本的理论知识到实验程序的过渡，也能对以后的进阶性实验提供技术保障，增强学生的动手能力和学习的信心。是在高斯-賽德尔迭代法的基础上再次改进，加入松弛因子，是求解大型稀疏矩阵方程组的有效方法之一，也可看作为高斯-赛德尔迭代法的加速，高斯-赛德尔是SOR迭代的一种特殊形式。但是，松弛因子的选取是很困难的，一般采用试算进行。SOR迭代法可以用作提高性
6、实验，一是它和之前的两个迭代算法有很强的联系，基本算法流程都相似，通过已有的两个算法程序，稍加修改，就可以快速得到算法的程序。二是它又与之前的两个算法不同，它没有一个确定的收敛速度最快的松弛因子，需要编程试算才能得到结论，这也是把它作为提高性实验的原因。于是我们设计了如下实验习题：（2）用SOR法时，哪个迭代因子收敛速度最快？通过习题，让学生编写寻找速度最快的松弛因子。完成提高实验，学生进一步掌握迭代法原理和编程技巧，并且在寻找速度最快的松弛因子时，需要提出自己的解决方案，以提高学生的动手能力和解决问题的能力。（三）综合设计性实验综合设计性实验需要在提高性实验基础上，理论和编程上都有进一步的提
7、升，提高实验课程的挑战性，于是我们继续沿着“算法改进”这一思路，设计了对SOR法再次改进的SSOR法（对称逐次超松弛法）实验。SSOR法在一般的数值分析课本之中没有出现，可以从文献中找到相关理论。SSOR方法用到了两次SOR法来计算，虽然算法上有进一步的改进，但是算法的基本思想还是和之前的三个算法一样，利用初值构造迭代序列，最后得到线性方程组的近似解，所以算法程序的基本框架还可以继续使用，学生在对SSOR方法的基本思想理解掌握的基础上，可以独立完成对算法程序的编写，并且可以与之前的算法做出比较。为此，我们在要求学生编写算法程序的基础上，设计了三种方法的迭代性能对比的综合设计性实验题目：取一个系
8、数矩阵为64阶的线性方程组AX=b，其中（1）编写SSOR迭代法的程序；（2）分别利用高斯-赛德尔迭代法、最佳因子的SOR迭代法、 SSOR方法计算上述线性方程组，比较分析得到的结果。学生为了完成综合设计性实验，可以查阅相关文献，得到SSOR方法的一般理论和收敛性结论，加深对已有算法的理解，对新算法改进思路的整理，会获得算法改进的技巧，学习和理解新算法。通过对稍微复杂的迭代方法的编程，掌握编程技巧，进一步提高动手能力。（四）实验实施计划将实验分为三个阶段后，任课老师需要给学生讲解实验原理和步骤，帮助学生理解实验过程，学生为了完成以上实验，肯定要花较多时间，而实验课堂时间有限，并且实验课堂时间往
9、往是以普通实验为标准进行设计的，因此学生难以在课堂时间内完成。我们的处理方式：首先，优化调整教学内容，尽可能在短的时间内让学生掌握基础知识，加上学生在此之前已经完成数学软件的相关课程，那么学生可以在实验初期快速入门。其次，现在是信息化时代，提倡线上线下融合展开教学，利用网络实验教学平台，进行线上实验教学和线上实验测试。我们可以在课上布置实验任务，帮助学生分析实验关键知识点和关键步骤，厘清编程思路，课后学生自主利用课余时间完成实验并且上交实验平台，实验平台能收集学生的实验数据和实验程序，将学生的实验完成情况反馈给任课老师，这样老师能有针对性地对学生的实验进行辅导，从而获得良好的教学效果。三、总结我们设计的数值分析实验三步骤，就是为了提高学生的学习积极性，从理论知识到实践的过渡中，从易到难，层层递进，充分融合课程的挑战性和创新性，让学生真正有收获。完成线性方程组迭代法三个实验，不是我们教学的终点，我们还可以结合最速下降法、共轭梯度法等，作为创新性实验的内容，让学生在后续的创新实验中继续迭代法的研究。还可以和毕业设计结合，找到算法的创新点，进一步提升理论和算法，达到最佳的学习效果。 -全文完-
