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1、 广义Tikhonov正则化工况传递路径分析 唐中华， 昝 鸣， 张志飞， 徐中明， 晋 杰(1. 重庆大学 机械与运载工程学院，重庆 400044； 2. 交通运输部公路科学研究院，北京 100088)工况传递路径分析(operational transfer path analysis，OTPA)是定位与辨识振动噪声问题及传递路径的有效方法1-2。相比经典传递路径分析(classic transfer path analysis,CTPA)，工况传递路径分析仅需要不同工况下目标点与指示点的响应数据，不需要拆分系统及测试系统频率响应函数与工况载荷力，从而能够节省实验时间，实验效率较高3-4。
2、广泛应用于汽车5、高速列车6-7及船舰8等工程领域。工况传递路径分析基于传递率函数展开实验，传递率定义为运行工况下目标点响应与指示点响应之间的比值9。但在实际工程应用中，指示点响应矩阵通常是病态的10，因此工况传递路径分析估计传递率函数矩阵的过程是一个病态的反问题。Tikhonov正则化是处理反问题的有效方法，通过引入正则化矩阵L和正则化参数11，可以提高反问题解的准确度。成玮等12将Tikhonov正则化引入工况传递路径分析中，仿真与实验结果均表明，相比传统奇异值分解(singular value decomposition，SVD) 法，Tikhonov正则化法所获取的各路径贡献量精度更高
3、，误差更小。Li等13提出了一种基于条件数准则的多参数Tikhonov正则化方法来估计传递率函数。实验结果表明多参数Tikhonov正则化法有效提升了工况传递路径分析的精度。但在估计传递率函数矩阵过程中，正则化矩阵为单位矩阵(即：L=I)，此时称为标准Tikhonov正则化。标准Tikhonov正则化经过奇异值分解得到的奇异向量振荡较严重，构成的正则化解准确度较低14，会影响各路径贡献量的计算精度。而正则化矩阵可以约束正则化项，并且正则化矩阵可以控制反问题解的基向量的选择，因此正则化矩阵可以选择非单位矩阵15-16，此时称为广义Tikhonov正则化。采用一阶偏导矩阵作为正则化矩阵时，结合广义
4、奇异值分解，得到的广义奇异向量振荡幅度较小，因此构成的正则化解准确度更高。Beck等17将广义Tikhonov正则化引入图像去模糊中，重构的图像优于标准Tikhonov正则化结果。Gauthier等18利用广义Tikhonov正则化进行波束形成声源识别，重构的声源更加清晰，更加接近原始声场。因此，广义Tikhonov正则化是处理反问题更优的选择，但在工况传递路径分析中应用较少。为提高工况传递路径分析的准确度，将广义Tikhonov正则化应用于工况传递路径分析中。将一阶偏导矩阵作为正则化矩阵，以广义奇异值分解得到的广义奇异向量作为解的基向量，并采用L曲线法选择正则化参数，分析得到各路径的贡献量。
5、最后，在集中质量块模型上进行工况传递路径分析仿真及在一铝板上展开工况传递路径分析实验，验证广义Tikhonov正则化工况传递路径分析方法的有效性。1 工况传递路径分析假设一系统为线性时不变系统，根据工况传递路径分析理论，指示点响应矩阵X与目标点响应矩阵Y之间的关系可表示为Y=XT(1)式中，T为传递率函数矩阵。式(1)展开成矩阵形式(2)式中：r为目标点个数；n为指示点个数；m为工况数。为了保证指示点响应矩阵X可逆，要求工况数大于等于指示点数，即mn。1.1 奇异值分解工况传递路径分析，如式(1)，在估计传递率函数矩阵T时，由于指示点响应矩阵X通常是病态的，因此式(1)可看作是一个病态的反问题
6、。奇异值分解常用在反问题求解中。对指示点响应矩阵X进行奇异值分解，有(3)式中：U和V分别为左奇异向量ui和右奇异向量vi构成的酉矩阵;VH为V的共轭转置矩阵；为所有奇异值构成的对角矩阵，=diag(1,2,n)，且有12n0，即所有奇异值按降序排列。于是通过指示点与目标点响应矩阵得到的传递率函数矩阵可表示为(4)通过传递率函数矩阵及指示点响应矩阵，即可得到每种工况下每条路径的贡献量，例如工况1下，各路径对目标点1的贡献量为(5)由式(4)可知，在求解传递率函数矩阵过程中，当目标点响应Y在测量过程中被噪声Y干扰时，较小的奇异值会放大噪声的影响。最大的奇异值与最小奇异值之比1/n定义为矩阵的条件
7、数，反映矩阵的病态程度。当矩阵条件数越大(矩阵病态越严重)，TSVD受误差影响越严重。且根据Hansen和Christensen-Dalsgaard等的研究，随着i的增大，奇异向量ui和vi振荡越严重，因此TSVD的准确度较低，同时影响每条路径贡献量的准确度。为提高其准确度，常用Tikhonov正则化来改善反问题的病态性。1.2 标准Tikhonov正则化Tikhonov正则化在最小二乘法的基础上，通过引入正则化项，并通过Lagrange方程将反问题转换为无约束最优化问题，从而求解。其目标函数为(6)式中:为正则化参数，可通过L曲线选取19-20；L为正则化矩阵，通常L=I，即标准Tikhon
8、ov正则化。则标准Tikhonov正则化的解TSTik可表达为TSTik=(XHX+2I)-1XHY(7)结合式(4)可得(8)式中:ui,vi,i意义与1.1节中一致，分别为指示点响应矩阵X的奇异向量和奇异值;fi为过滤因子(9)用TSTik替换式(5)中TSVD，即可得到每条路径的贡献量。对于较大奇异值，fi趋近1；而对于较小奇异值，fi1。因此，较小奇异值的影响可通过fi得到改善。TSTik通过标准Tikhonov正则化引入了过滤因子fi，其准确度相比TSVD有一定程度的改善，但其仍由指示点响应矩阵X的奇异向量构成，仍然会受奇异向量ui和vi较大振荡的影响。且根据Hansen的研究，虽然
9、奇异向量ui和vi分别为指示点响应矩阵X的列空间和行空间的最佳基向量，但是vi不一定是期望正则化解的最佳基向量。因此，有必要引入非单位矩阵作为正则化矩阵来控制正则化解的基向量选择，进一步提高传递率函数矩阵的准确度。1.3 广义Tikhonov正则化式(6)中，当LI时，则称为广义Tikhonov正则化。而正则化矩阵L可选择一阶偏导矩阵L1此时，广义正则化问题可用矩阵对(X，L)的广义奇异值分解(generalized singular value decomposition，GSVD)来分析(10)i=ci/si(11)最后可得广义Tikhonov正则化解TGTik(12)(13)2 仿真分析
10、为了验证广义Tikhonov正则化在工况传递路径分析中的有效性，在九自由度集中质量块模型21上开展工况传递路径分析，如图1所示。图1 九自由度模型Fig.1 Nine degrees of freedom model该模型共包含9个质量块，各质量块之间通过弹簧和阻尼单元连接，各质量、刚度与阻尼参数如表1所示。仅考虑各质量块的平动自由度，忽略转动自由度。表1 质量、刚度和阻尼参数Tab.1 The parameters of mass, stiffness and damping若将被动部分的质量块M1当作目标点，则主动部分的振动可通过3条路径传递至M1，即路径35，路径46和路径78。用F=1
11、0 N(如图2)分别激励质量块M9，M5，M6和M8形成4组工况用来估计工况传递路径分析的传递率函数矩阵，分别记为工况一、工况二、工况三和工况四，保证工况数大于路径数。图2 仿真激励载荷Fig.2 The load for simulation2.1 经典传递路径分析经典传递路径分析虽然耗时长，工作量大，但其准确度较高，因此将经典传递路径分析所得的各路径贡献量当作准确值22，来验证广义Tikhonov正则化在工况传递路径分析中的有效性。经典传递路径分析第一步需要将系统拆分，如图3所示，然后获取被动部分的频响函数H13，H14和H17。图3 拆分模型Fig.3 Split model经典传递路径
12、分析第二步是获取质量块M3，M4和M7受到的工况力(仅考虑工况一)。对于该九自由度模型，可采用悬置刚度法获取工况力(14)式中,(x3,x5,x4,x6,x7,x8)为工况一下的各质量块位移响应。最后，通过工况力和对应的频响函数，即可得到工况一下各路径的贡献量(如图4图7所示)。(15)图4 目标点总响应Fig.4 The total response of the target point图5 路径35Fig.5 The contribution of path 35图6 路径46Fig.6 The contribution of path 46图7 路径78Fig.7 The contri
13、bution of path 782.2 工况传递路径分析2.2.1 耦 合在工况传递路径分析中，某个指示点的信号应仅为相应源的响应信号。然而，每种工况下，所有源同时工作，因此每个指示点的信号均耦合有其他源的信息。耦合会影响工况传递路径的贡献量辨识，若以含有耦合的信号进行工况传递路径分析，准确度较低。在存在耦合的情况下(16)为消除耦合的影响，可在主、被动部分上分别布置一个指示点，然后以两个指示点的响应差进行工况传递路径分析，即指示点响应矩阵取X=x3-x5x4-x6x7-x82.2.2 工况传递路径分析在实际测量过程中，测量数据不可避免会受到噪声的干扰，因此假设仿真所得的目标点响应矩阵Y和指
14、示点响应矩阵X受随机噪声的影响，噪声服从高斯分布(17)结合4组工况数据，分别运用标准Tikhonov正则化法与广义Tikhonov正则化法估计目标点与指示点之间的传递率函数矩阵。得到传递率矩阵后，根据式(5)计算工况一的各路径贡献量，并与2.1节的经典传递路径分析各路经贡献量进行对比，见图4图7。由图4可知，广义Tikhonov正则化法合成的工况传递路径分析总响应与经典传递路径分析总响应吻合很好，而标准Tikhonov正则化法合成的工况传递路径分析总响应在某些频段稍有偏差。对于路径35，在6080 Hz处，两种工况传递路径方法得到的贡献量均有偏差，而在其他频率段，广义Tikhonov正则化法
15、比标准Tikhonov正则化法准确度高。对于路径46和路径78，广义Tikhonov正则化法得到的贡献量在整个分析频率段与经典传递路径分析的贡献量吻合均较好，而标准Tikhonov正则化法在分析频段内误差较大。由此可知，当采用广义Tikhonov正则化法来估计传递率函数矩阵，最后获取的路径贡献量准确度更高，验证了广义Tikhonov正则化法在工况传递路径分析中的有效性。为量化两种工况传递路径分析法获取的贡献量与CTPA结果的匹配程度，引入FRAC(frequency response assurance criteria)值CFRA23(18)式中：f1与f2为分析的频段上下限；YOTPA(f)为工况传递路径分析获得的贡献量；YTPA(f)为经典传递路径分析获得的贡献量；“*”为复共轭。FRAC值介于01，1为两个频域数据完全匹配。图8是两种工况传递路径分析法的FRAC值。由图8可知，广义Tikhonov正则化法的FRAC值均大于标准Tikhonov正则化法的FRAC值，也表明广义Tikhonov正则化法获取的路径贡献量准确度更高。图8 仿真FRAC值Fig.8 The FRAC value of simulation3 实验验证为了进一
