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1、 一般曲线坐标系下概率密度函数方法及其在超声速燃烧中的应用 关清帝，梁剑寒，张林，陈文武，陈玉俏国防科技大学 空天科学学院 临近空间技术研究所，长沙 410073超燃冲压发动机燃烧室中燃烧过程十分复杂，湍流、激波、火焰相互耦合，火焰结构一般高度褶皱、破碎，通常还伴随局部熄火、再燃、闪回等复杂过程1。在超声速条件下，由于流动速度极快，湍流流动与化学反应的特征时间尺度处于相当的量级，湍流与化学反应紧密耦合在一起，相互作用十分剧烈。超声速、强非定常效应等极端条件带来了一系列值得深入研究的可压、非平衡复杂流动燃烧行为2，给超声速湍流燃烧模拟带来了巨大的挑战。又由于化学反应源项的强非线性，对大涡模拟（L
2、arge Eddy Simulation， LES）方法而言，很难对滤波后的化学反应源项进行准确建模，湍流燃烧模型是LES 准确模拟超声速湍流燃烧的关键。目前，超声速流中比较常用的湍流燃烧模型包括火焰面进度变量模型3、部分搅拌反应器模型4、线性涡模型和一维湍流模型5-6以及输运型概率密度函数（Probability Density Function， PDF）模型7等。在这些模型中，输运型PDF 方法可以精确处理湍流与化学反应的相互作用，适用于任何复杂的湍流燃烧模式，因此被认为是最可信的湍流燃烧模型之一8。输运型PDF 方法从湍流的随机特性出发，基于Navier-Stokes 方程建立并求解湍
3、流物理量的单点联合概率密度输运方程。湍流物理量最基本的可预测性是它的概率及其概率密度分布。已知随机变量的概率密度分布，则可以求解包括化学反应源项在内的任意复杂和任意高阶的单点矩，因此PDF 方法理论上可以精确地处理湍流化学反应相互作用。PDF 方法体系的建立，主要来源于Pope7的开创性工作，其对PDF 方法的理论基础、模化方法以及求解过程都进行了完整的论述。Givi9首先将PDF 方法的思想应用于LES 滤波化学反应源 项的 封 闭，Pope10随 后 提出了滤 波PDF的概念，Gao 和Obrien11依此推导并建立了滤波PDF的输运方程。此后，国内外学者在不可压流中开展了大量的LES-P
4、DF数值模拟。Jaishree12采用LES-PDF 方法对Sandia Flame D、E 和F 进行了数值模拟，与实验结果对比，不论是平均量还是脉动量，均与实验结果符合较好。杨越等13采用LES-PDF 方法对非预混CO/H2射流火焰进行了模拟，与DNS（Direct Numerical Simulation）结果进行了对比验证，结果显示温度以及主要组分的质量分数与DNS 结果符合很好，LESPDF 方法较好地预测了火焰的局部熄火与再燃过程。总体上，PDF 方法在不可压湍流燃烧中取得了很好的效果。由于在模拟湍流燃烧相互作用方面的潜在优势，PDF 方法也开始逐步向超声速流发展。Jaberi
5、等14首次将可压缩LES 求解器与PDF 相结合，发展了可压缩LES-PDF 方法，在二维无反应时间混合层算例中初步验证了PDF 方法在可压缩流中的可行性。Banaeizadeh 等15进一步发展了这种可压缩LES-PDF 方法，在激波管和无反应超声速同轴射流中开展了相应的数值测试。最近，Komperda 等16将可压缩PDF 与间断谱元方法相结合，对球形域中的爆炸过程进行了数值模拟。在作者团队先前的工作17-18中，发展了一种守恒可压缩LES-PDF 方法。该方法在激波管和时间反应混合层中得到了初步验证，结果表明守恒可压缩PDF 方法显著提高了能量解的精度。这些工作在可压缩LES-PDF 方
6、法建模等方面取得了重要的进展，但是目前的大多数模型仅在无反应流或者简单反应流中进行了验证。超燃冲压发动机燃烧室中燃烧过程十分复杂，很有必要在实际构型中开展模型验证工作。随着可压缩PDF 模型的不断完善和数值方法的发展，最近的一些研究也开始将PDF 方法应用于比较实际的可压缩湍流燃烧问题。Validi等19对快速压缩机中的湍流射流火焰进行了LES-PDF 模拟，定性比较了温度场计算结果。Ranadive20模 拟 了Cheng 等21的超声速射流火焰，与实验和层流有限速率模型结果进行了比较详细的定量对比。最近，Abdulrahman 等22使用LES-PDF 方法模拟了非预混和预混的分布式燃烧过
7、程，PDF 预测的轴向平均速度与实验符合较好。虽然上述部分工作开始应用于比较实际的超声速燃烧问题，但是采用的网格仍为简单笛卡尔网格，该网格及其数值求解框架难以应用到实际的超燃冲压发动机构型，极大地限制了LESPDF 方法在实际发动机燃烧室中的应用。总体来说，目前PDF 方法在超声速流中的发展还十分初步，大多数可压缩LES-PDF 方法只在简单笛卡尔网格下进行了方法验证，可压缩LES-PDF 方法在实际构型中的研究和应用还十分缺乏。为了将该方法应用于发动机燃烧室模拟，需要发展适用于复杂构型的LES-PDF 方法。同时复杂构型下LES-PDF 耦合方法，粒子追踪方法以及大规模并行计算等方面，都还有
8、待深入的研究。本文在前期可压缩LES-PDF 工作的基础上，基于多块结构网格，实现了基于曲线坐标的粒子追踪方法，建立了曲线坐标LES-PDF 方法，使可压缩LES-PDF 方法适用于复杂构型计算。1 基本控制方程1.1 可压缩LES 控制方程LES 方法通过对湍流运动的滤波，将湍流脉动分解为可解的大尺度运动和需要封闭的小尺度脉动。可解尺度湍流运动直接求解，小尺度湍流脉动的质量、动量和能量输运对大尺度运动的作用采用亚格子模型进行封闭。对Navier-Stokes 方程进行Favre 滤波，得到大涡模拟控制方程为式中：t为物理时间；x为物理坐标；i为空间维度；ui为i方向的速度分量；为密度；p为流
9、场压力；ij为Kronecker 函数；ij为黏性应力张量；E为总能；qi为i方向热通量；Y、Vi，和分别为组分的质量分数、i方向扩散速度以及质量生成率；“-”表示空间滤波；“”表示Favre 滤波；上标“sgs”表示未封闭的亚格子项。其中sgsij为亚格子黏性应力，采用一方程Yoshizawa 模型23进行封闭：其中：ksgs为亚格子湍动能；t为涡黏系数，由涡黏输运方程直接求解；Sij为应变率张量。Hsgsi为亚格子焓通量，Ysgsi，为亚格子组分对流通量，这2 项均采用梯度扩散假设进行封闭：式中：H为总焓；Prt和Sct分别为湍流普朗特数和湍流施密特数，在本文的模拟中，均为0.72。1.2
10、 曲线坐标PDF 输运方程本文仅考虑标量PDF，在标量PDF 方法中，直接求解热力学标量的联合概率密度函数输运方程，其中包括Ns个组分的质量分数以及显焓h。可压缩流中标量PDF 定义为式中：和分别表示标量向量和标量向量的样本空间为笛卡尔物理空间坐标；y为x对应的积分变量；（）为细粒密度函数；G（）为滤波核函数。由标量守恒方程，可以直接推导建立笛卡尔坐标下的PDF 输运方程：式中：为可解速度；为扩散系数，为分子扩散系数和湍流扩散系数之和；为组分的质量分数；S为组分的化学反应源项；m为标量混合频率；为对应的样本空间。式（9）等号左边的2 项为PDF 瞬时项和对流项。式（9）等号右侧第1 项代表湍流
11、脉动和分子扩散导致PDF 在物理空间的输运；第2 项为分子扩散项引起的PDF在组分空间的输运，采用最常用的IEM（Interaction by Exchange with the Mean）小尺度混合模型进行封闭；第3 项表示化学反应以及可压缩项引起的PDF 在组分空间的输运。式（9）给出的输运方程中化学反应源项S可以展开为式中：为 组分的质量生成率；=Ns+1 时，S表示显焓方程的源项，为反应释热T和可压缩高速源项Sh之和；Sh的表达式为由于坐标变换只涉及到物理空间，所以本文重点关注跟物理空间坐标相关联的项，忽略对可压缩项和反应源项等单点源项过程的处理。对于超声速流中反应源项和可压缩项的建模
12、可见作者团队前期超声速PDF 方法的建模工作18。对式（9）两端同时除以J，J的表达式为式中：J为坐标变换系数矩阵对应的行列式值；x、y、z、x、y、z、x、y、z为度量系数。利用一般曲线 坐 标 系(，)和笛卡尔直角坐标系(x，y，z，t)之间的转换关系，进行坐标变换。为简洁起见，这里直接给出推导整理后的一般曲线坐标系下的PDF 输运方程：式中：=，为一般曲线坐标系下的空间坐标；F=Fx/J表示一般曲线坐标系下的标量概率密度函数。为逆变速度，其表达式为其中：u、v、w为物理空间的速度分量。对流项系数Ai为可以看出，坐标变换只涉及物理空间，与标量空间无关。由此得到了完全封闭的曲线坐标下PDF
13、输运方程，可以进行数值求解。2 数值求解方法2.1 曲线坐标系下LES 离散方法采用有限差分方法对曲线坐标下LES 控制方程进行数值离散，曲线坐标下控制方程的具体形式为式中：Q为守恒变量矢量，表达式为Ec、Fc、Gc为对流通量矢量；Ev、Fv、Gv为黏性通量矢量。式（17）中各项形式较为复杂，这里不再详细展开，具体表达可以参见流体力学教材。本文采用的可压缩LES 求解器在超声速湍流流动、燃烧模拟中已经进行了大量的数值验证24-25。时间方向的离散采用具有TVD（Total Variation Distance）性 质 的 三 阶Runge-Kutta 方法。空间上对流项和黏性项的离散分开进行，
14、对流项具有很强的非线性，采用五阶WENO26格式离散，黏性项体现为物理过程中的耗散，没有明显的方向性，采用简单的二阶中心差分格式进行离散。2.2 曲线坐标系下Monte Carlo 粒子方法PDF 输运方程的维数很高，用传统的有限差分等方法求解计算量过大，一般采用Monte Carlo 粒子方法求解。在粒子方法中，流体由大量的拉格朗日粒子来描述，每个粒子根据随机微分方程随时间演化。为了得到对应的曲线坐标下的随机微分方程，引入Fokker-Planck 的矢量形式。对多维扩散过程，其转移密度存在，且满足Fokker-Planck 方程：式中：f为转移密度函数；d为转移密度函数的维度；ys为状态空
15、间。式（19）右端第1 项Bij为扩散项，第2 项a为漂移项。其对应的扩散过程为其中：Ui为随机变量；U为随机变量的样本空间；aiU(t)，t称为漂移速度，而bijU(t)，t称为扩散速度，两者均为随机变量的函数；W表示维纳随机过程。此外，民立中学历来也有演剧祝圣的活动，直到1908年8月，其演剧祝旦活动受到王安民的指责，从此不再举办演剧。新剧史详细记载了这一事件：结合式（13）所示的曲线坐标下PDF 输运方程，可以得到对应的粒子随机微分方程。这里直接给出曲线坐标下方向粒子的随机微分方程为式中：上标“*”表示粒子所在位置的物理参数；U为方向粒子的逆变速度分量；d为曲线坐标下的时间增量；dWi代表维纳随机过程27的增量。粒子在逆变速度、分子输运以及亚格子湍流扩散作用下在计算空间移动，而粒子标量在小尺度混合、化学反应以及可压缩高速源项的作用下发生变化。粒子随机微分方程所对应的Fokker-Planck 方程与模化后的标量PDF 输运方程形式一致，通过概率相似体系建立起了Monte Carlo粒子和真实流体运动的关联。粒子位置以及标量的演化通过王海峰等28发展的弱二阶算子分裂格式进行。粒子随机微分方程可以分裂为3 个具体过程，分别是计算空间的输运（T），标量空间的混合（C）以及标量空间的单点化学反应（R）。该二阶精度的算子分
