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1、第13讲 导数的应用 一、选择题1(2009广东卷)函数f(x)(x3)ex的单调递增区间是()A(，2) B(0, 3) C(1, 4) D(2，)解析：函数f(x)(x3)ex的导数为f(x)(x3)ex1ex(x3)ex(x2)ex，由函数导数与函数单调性关系得：当f(x)0时，函数f(x)单调递增，此时由不等式f(x)(x2)ex0解得：x2.答案：D2(2009安徽名校联考一)设函数f(x)ax3x2(a0)在(0,2)上不单调，则a的取值范围是()Aa1 B0a1C0a D. a1解析：由题意得f(x)ax22x，令f(x)0，得x0或x，易得f(x)在(，0)，上单调递增，在上单
2、调递减要使函数f(x)在(0,2)上不单调，则只要2即可，即当a1时，f(x)在(0, 2)上不单调答案：A3已知函数f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是()A1a2 B3a6Ca6 Da2解析：f(x)3x22axa6，令f(x)0，要使函数f(x)有极大值和极小值，则4a243(a6)4(a23a18)0，a6.答案：C4已知f(x)2x36x2m(m为常数)在2,2上有最大值3，那么此函数在2,2上的最小值为()A5 B11 C29 D37解析：由f(x)6x212x0得x2，由f(x)0得0x2，f(x)在2,0上为增函数，在0,2上为减函数x0时，f(
3、x)maxm3.又f(2)37，f(2)5.f(x)min37.答案：D二、填空题5函数f(x)xln x(x0)的单调递增区间是_解析：由于f(x)ln x10ln x1x.因此，单调递增区间是.答案：6(2009苏锡常镇二调)若函数f(x)mx2ln x2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围是_解析：由题意可得：f(x)2mx2在(0，)上有f(x)0恒成立，所以2mx20在(0，)上恒成立，即2m在(0，)上恒成立，设t(x)21，只要求出t(x)在(0，)上的最大值即可而当1，即x1时，t(x)max1，所以2m1，即m.答案：7已知函数f(x)x312x8在区间3,3上的最大值与
4、最小值分别为M、m，则Mm_.解析：f(x)3x2123(x24)3(x2)(x2)，x2为f(x)的两个极值点，f(2)8，f(2)24，f(3)1，f(3)17，Mf(2)24，mf(2)8.Mm32.答案：32三、解答题8(2010茂名模拟)设函数f(x)x33axb(a0)(1)若曲线yf(x)在点(2，f(2)处与直线y8相切，求a，b的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值点解：(1)f(x)3x23a.因为曲线yf(x)在点(2，f(2)处与直线y8相切，所以即解得a4，b24.(2)f(x)3(x2a)(a0)当a0，函数f(x)在(，)上单调递增；此时函数f(x)没有极值点
5、当a0时，由f(x)0得x.当x(，)时，f(x)0，函数f(x)单调递增；当x(，)时，f(x)0，函数f(x)单调递增此时x是f(x)的极大值点，x是f(x)的极小值点9用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为21，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？解：设长方体的宽为x(m)，则长为2x(m)，高为h(4.53x)(m)，故长方体的体积为V(x)2x2(4.53x)(9x26x3)(m3).从而V(x)18x18x218x(1x)令V(x)0，解得x0(舍去)或x1，因此x1，当0x0；当1x时，V(x)0.故在x1处V(x)取得极
6、大值，并且这个极大值就是V(x)的最大值从而最大体积VV(1)9126133(m3)，此时长方体的宽为1 m，长为2 m，高为1.5 m.答：当长方体的长为2 m，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3.10(2009山东卷)已知函数f(x)ax3bx2x3，其中a0.(1)当a，b满足什么条件时，f(x)取得极值？(2)已知a0，且f(x)在区间(0,1上单调递增，试用a表示出b的取值范围解：(1)由题意知，f(x)ax22bx1，当(2b)24a0时f(x)无极值，当(2b)24a0，即b2a时，f(x)ax22bx10有两个不同的解，即x1，x2，因此f(x)a(xx
7、1)(xx2)当a0时，f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x)极大值极小值由此表可知f(x)在点x1，x2处分别取得极大值和极小值当a0时，f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(，x2)x2(x2，x1)x1(x1，)f(x)00f(x)极小值极大值由此表可知f(x)在点x1，x2处分别取得极大值和极小值(2)由题意知f(x)ax22bx10在区间(0,1上恒成立，则b，x(0,1设g(x)，x(0,1当(0,1，即a1时，g(x)2 ，等号成立的条件为x(0,1，g(x)最大值g，因此b.当1，即0a1时，g(x)0，g
8、(x)最大值g(1)，所以b.综上所述，当a1时，b；当0a1时，b.1(2010创新题)已知yf(x)是奇函数，当x(0,2)时，f(x)ln xax，当x(2,0)时，f(x)的最小值为1，则a的值等于()A. B. C. D1解析：f(x)是奇函数，f(x)在(0,2)上的最大值为1，当x(0,2)时，f(x)a，令f(x)0得x，又a，02.令f(x)0，则x，f(x)在上递增；令f(x)0，则x，f(x)在上递减，f(x)maxfln a1，ln0，得a1.答案：D2()已知函数f(x)x3bx2c(b，c为常数)当x2时，函数f(x)取得极值，若函数f(x)只有三个零点，则实数c的取值范围为_解析：f(x)x3bx2c，f(x)x22bx.x2时，f(x)取得极值，222b20，解得b1.当x(0,2)时，f(x)单调递减，当x(，0)或x(2，)时，f(x)单调递增若f(x)0有3个实根，则，解得0c.答案：
