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1、2.10函数与方程1函数的零点(1)函数零点的定义一般地，我们把使函数yf(x)的值为_的实数x称为函数yf(x)的零点(2)几个等价关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与_有交点函数yf(x)有_(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是一条不间断的曲线，且_，则函数yf(x)在区间_上有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是f(x)0的根2二次函数yax2bxc (a0)的图象与零点的关系000)的图象与x轴的交点无交点零点个数3.二分法对于在区间a，b上连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零
2、点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法难点正本疑点清源1函数的零点不是点函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的实数根，也就是函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标2零点存在性定理的条件是充分而不必要条件若函数yf(x)在闭区间a，b上的图象是连续不间断的，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)f(b)0，f(x)在区间(a，b)上照样存在零点，而且有两个所以我们说零点存在性定理的条件是充分条件，但并不必要1设f(x)3x3x8，用二分法求方程3x3x8
3、0在x(1,2)内近似解的过程中得f(1)0，f(1.25)0，且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是_5已知函数f(x)x2xa在区间(0,1)上有零点，则实数a的取值范围是_题型一判断函数在给定区间上零点的存在性例1判断下列函数在给定区间上是否存在零点(1)f(x)x23x18，x1,8；(2)f(x)log2(x2)x，x1,3探究提高函数的零点存在性问题常用的办法有三种：一是用定理，二是解方程，三是用图象值得说明的是，零点存在性定理是充分条件，而并非是必要条件 (1)(2010天津改编函数f(x)2x3x的零点所在的一个区间是_(填序号)(2，1); (1,0); (0,1); (1
4、,2)(2)设函数f(x)xln x (x0)，则yf(x)满足_(填序号)在区间，(1，e)内均有零点；在区间，(1，e)内均无零点；在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点；在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点题型二函数零点个数的判断例2若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，且当x0,1时，f(x)x，则函数yf(x)log3|x|的零点个数是_探究提高判断函数零点的个数，通常可用数形结合法，直接求解法这类题目是高考的常考题目，望同学们能够灵活处理 已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0x2c2b，求证：(1)a0且3；(2)函数f(x)在区间(0,2)内至少
5、有一个零点；(3)设x1，x2是函数f(x)的两个零点，则|x1x2|0)(1)若yg(x)m有零点，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)f(x)0有两个相异实根审题视角(1)yg(x)m有零点即yg(x)与ym的图象有交点，所以可以结合图象求解(2)g(x)f(x)0有两个相异实根yf(x)与yg(x)的图象有两个不同交点，所以可利用它们的图象求解规范解答解(1)方法一g(x)x22e，故g(x)的值域是2e，+)， 3分因而只需m2e，则yg(x)m就有零点6分方法二作出g(x)x (x0)的大致图象如图： 3分可知若使yg(x)m有零点，则只需m2e. 6分(2) 若g(
6、x)-f(x)=0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个 不同的交点，作出g(x)=x+ (x0)的大致图象 8分f(x)x22exm1(xe)2m1e2.其图象的对称轴为xe，开口向下，最大值为m1e2.12分故当m1e22e，即me22e1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)f(x)0有两个相异实根m的取值范围是(e22e1，)16分批阅笔记(1)求函数零点的值，判断函数零点的范围及零点的个数以及已知函数零点求参数范围等问题，都可利用方程来求解，但当方程不易甚至不可能解出时，可构造两个函数、利用数形结合的方法进行求解(2)本题的易错点在于确定g(x)的最小值和f(x)的
7、最大值时易错要注意函数最值的求法方法与技巧1函数零点的判定常用的方法有：(1)零点存在性定理；(2)数形结合；(3)解方程f(x)0.2研究方程f(x)g(x)的解，实质就是研究G(x)f(x)g(x)的零点3二分法是求方程的根的近似值的一种计算方法其实质是通过不断地“取中点”来逐步缩小零点所在的范围，当达到一定的精确度要求时，所得区间的任一点就是这个函数零点的近似值失误与防范1对于函数yf(x)(xD)，我们把使f(x)0的实数x叫做函数的零点，注意以下几点：(1)函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零；(2)函数的零点也就是函数yf(x)的图象与x轴的交点的横坐标
8、；(3)一般我们只讨论函数的实数零点；(4)函数的零点不是点，是方程f(x)0的根2对函数零点存在的判断中，必须强调：(1)f(x)在a，b上连续；(2)f(a)f(b)0时，f(x)2 012xlog2 012x，则在R上，函数f(x)零点的个数为_5已知函数f(x)x2x，g(x)xln x，h(x)x1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是_6若函数f(x)x2axb的两个零点是2和3，则不等式af(2x)0的解集是_7若f(x) 则函数g(x)f(x)x的零点为_二、解答题8是否存在这样的实数a，使函数f(x)x2(3a2)xa1在区间1,3上与x轴有且只有一个交
9、点若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由B组专项能力提升题组一、填空题1函数f(x)3x7ln x的零点位于区间(n，n1) (nN)，则n_.2已知0a1，则函数ya|x|logax|的零点的个数为_3已知函数f(x)x2(1k)xk的一个零点在(2,3)内，则实数k的取值范围是_4已知函数yf(x) (xR)满足f(x2)f(x)，当x1,1时，f(x)|x|，则yf(x)与ylog7x的交点的个数为_5已知函数f(x)，若函数g(x)f(x)m有3个零点，则实数m的取值范围是_6设mN，若函数f(x)2xmm10存在整数零点，则m的取值集合为_二、解答题7已知函数f(x)4xm2x1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点8(1)m为何值时，f(x)x22mx3m4.有且仅有一个零点；有两个零点且均比1大；(2)若函数f(x)|4xx2|a有4个零点，求实数a的取值范围答案要点梳理1(1)0(2)x轴零点(3)f(a)f(b)1 5(2,0)题型分类深度剖析例1解(1)f(1)123118200，f(1)f(8)log2210，f(3)log253log2830，f(1)f(3)0，故f(x)log2
