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1、精品文档精品文档安庆师范学院得分1 、含了它的所有解.?常微分方程?A卷一、判断题8分,每题2分n阶常微分方程的通解包2x dC22、函数y =Cie2是微分方程y_y._2y = 0 的通解.3、n阶线性齐次微分方程的n 个解 Xi(t),X2(t),|( ,Xn(t)在a,b上线性无关的充要条件是W(t) =0,ta,b.存在n阶常数矩阵C,使4、设：.：t为X丄AtX的基解矩阵,那么Tt为其基解矩阵：二得分二、选择题10分,每题2分-y二 cosy三阶线性方程四阶线性方程A三阶非线性方程C 四阶非线性方程以下方程中为齐次方程的是a y =xy (y )c y =xy f(y)d cos
2、ydx 二 cos xdyn阶齐次线性微分方程的所有解构成一个b n 1维线性空间.d n 24、 Lipschitz条件是一阶微分方程初值问题存在唯一解的条件A充分条件B必要条件C充分必要条件D既不是充分也不是必要条件dx=-y5. 方程 dt的奇点0,0的类型是I dx=xdtA结点B焦点C 中央D鞍点得分三、填空题12分,每空2分1、向量函数X1t, X2tJH,Xnt是线性方程组 XAtX的根本解组的充要条件是:(1) ； ( 2) .2、方程M (x, y)dx - N(x,y)dy =0存在只与y有关而与x无关的积分因子的充分必要条件是 3、方程一y的奇解是.dx *4、 伯努利方
3、程= P(x)y Q(x)yn,(n = 0,1)通过变量替换 dx可化为线性方程.25、 欧拉方程 x y - xy y = 0的通解为.得分四、求以下方程的通解(40分,每题10分)1、xy2y = x3 cosx.112、(sin y ysin x )dx (xcosy -cosx )dy = 0.xy)线此过I 3、(y x)dx (y - x)dy = 0!“ 1)I 4、x= x.14 1 丿超得不题得分30分,每题10分)1、 试用皮卡逐步逼近法求方程齐x2 -y通过点(10)的第二次近似解.2、方程x ax x =2cost的一个解为 为化)=sint,试求此方程的通解.I 3
4、、设曲线L位于XOY平面的第一象限内, L上任一点m处的切线与y轴总相交,交点记为 A, |MA|=|OA|且L过点(3,|),求L的方程.安庆师范学院?常微分方程?A卷本答案仅供参考,假设有多种解法,那么按相应标准酌情评分一、判断题8分,每题2分1、错；2、错；3、对；4、错二、选择题10分,每题2分1、A ；2、 B ； 3、A ； 4、A ； 5、C三、填空题12分,每空2分1、 1X1t,X2t,|,Xnt是方程组的解；2X1t,X2t,|H,Xnt线性无关;；:N2、二y = y ； 3、y=0 ； 4、z = y1；-M5、y=C|+c2ln xx其中 Oi,c2为任意常数四、求以
5、下方程的通解40分,每题10分31、xy - 2y = x cos x.2 2解：改写方程为：y y = x cosxx先求齐次线性方程y - 2 y = 0的通解,别离变量得：dy = dx -3 分xy x积分得通解为y = CX 25分再利用常数变易法求非齐次线性方程的通解,令y = cxx2,代入得:c xx2 = x2 cosx ,积分得cx二 sin x c8分2从而所求通解为 y =c sinxx 其中c为任意常数.-10 分2、(sin y ysinx)dx (xcosy-cosx )dy=O.xy解：由于二= cosy sinx N,所以原方程是恰当方程-4分內ex原方程可化
6、为11(sin ydx xd sin y) -(yd cosx cosxdy) dx dy = 0. xy-8分d(xsin y - ycosx In xy) = 0故原方程的通解为 xsin y ycosx In xy =c,其中c为任意常数.-103、(y x)dx ( y -x)dy = 0 解：原方程化为：两边同除以ydx _ xdy xdx ydy = 0 二 xdx ydy = xdy _ ydx ( 2 分) xdyydx xdx ydyx2 y2 得:x2y2即:d(arctan#)d(lnx2 亠y2)x 2(7化简得:x2 y2 二 ce2 arctaJx(C为任意常数)故
7、原方程的通解为:2 y ce2 arctanx(10 分)注：用其他方法解得正确结果给总分值.4、x.解：特征方程为A- *=0,1-31 41一3丿心丿-3 =3对应特征向量应满足所以特征根为1=3,同样可算出2 - -1对应的特征向量为/ a2 _1、4丿1_28r占丿可确定出所以,原方程组的通解为/ 3t f丄、x1ee区2=G+ c2五、计算与证实题(30分,每题10分)-101、解：0x =0,-3分x 21 31(x)s ds x1 J312(x)=彳(s2 - i(s)ds -石:、4x4x3x丄3312-10 分2、解：将X|t =sin t代入原方程得-sint a cost
8、 sint =2cost即a =2.从而原方程化为x2xrx=2cost ,- 4分-6 分对应齐次方程的特征值为 =1,二重所以原方程的通解为x =G c?tet - si nt. g,C2为任意常数.-10分A,已3、设曲线L位于XOY平面的第一象限内,L上任一点M处的切线与Y轴总相交,交点记为知MA = 0A且L过点(|,|)2 2,求L的方程.解： 设点M的坐标为x,y,那么切线MA的方程为:Y_y = y(X _x)(2 分)令X = 0,贝UY=yxy,故点a的坐标为：0, y - xy 由 MA = OA,y -xy 二.(x-0)2 (y-y xy )2 ；化简后得：2y/-yx=-x2dzz令 Z 二 y ,得一二一xdxxdx解得：z 二 ex (-.xe有2即dxx dx c) = x(-x c)(5 分)22y x cx(8 分)又所求曲线在第一象限,所以y - CX - X23 3将y代入, 得c=3 ；2 2(10 分)所以曲线方程的解为：y = . 3x x2 , 0 ： x 3
