《将军饮马问题讲义》由会员分享，可在线阅读，更多相关《将军饮马问题讲义（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、将军饮马问题唐朝诗人李颀的诗古参军行开头两句说:白日登山望烽火，傍晚饮马傍交河. 诗中隐含着一种有趣的数学问题.如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发,走到河边饮马后再到B点宿营.请问如何走才干使总的路程最短?这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦.一天,一位罗马将军专程去拜访她,向她请教一种百思不得其解的问题将军每天参军营出发,先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会,应当如何走才干使路程最短?从此，这个被称为将军饮马的问题广泛流传将军饮马问题=轴对称问题=最短距离问题(轴对称是工具,最短距离是题眼)。所谓轴对称是工具，即此类问题最常用的
2、做法就是作轴对称。而最短距离是题眼，也就意味着归类此类的题目的理由。例如题目常常会浮现线段 a+b这样的条件或者问题。一旦浮现可以迅速联想到将军问题，然后运用轴对称解题。一六大模型.如图,直线 和l 的异侧两点 、B，在直线 l 上求作一点 P,使PA+P 最小。.如图，直线 和 的同侧两点A、B，在直线 上求作一点 P，使 P+PB 最小。3如图,点 P是内的一点,分别在OM,ON上作点 ,。使PA 的周长最小.4.如图，点P，Q 为ON内的两点,分别在 M，ON 上作点 A,B。使四边形PAQB 的周长最小。.如图,点 A 是MON外的一点,在射线N 上作点 P,使P 与点 P到射线 M
3、的距离之和最小6.如图，点 A 是MON 内的一点,在射线 ON 上作点 P，使 A 与点 P 到射线 M 的距离之和最小 常用问题一方面明白几种概念,动点、定点、对称点。动点一般就是题目中的所求点，即那个不定的点。定点即为题目中固定的点。对称的点，作图所得的点，需要连线的点。1. 怎么对称,作谁的对称?。简朴说所有题目需要作对称的点，都是题目的定点。或者说只有定点才可以去作对称的。（不拟定的点作对称式没故意义的)那么作谁的对称点？一方面要明确有关对称的对象肯定是一条线，而不是一种点。那么是哪一条线?一般而言都是动点所在直线。2. 对称完后来和谁连接？一句话：和此外一种定点相连。绝对不能和一种
4、动点相连。明确一种概念:定点的对称点也是一种定点。例如模型二和模型三。3. 所求点怎么拟定？一方面一定要明白,所求点最后反映在图上一定是个交点。实际就是我们所画直线和已知直线的交点。下面我们来看看将军饮马与二次函数结合的问题：如图,抛物线yax2+b通过A（1,0)、B（，0)、C（0，3)三点.（1)求抛物线的解析式；(2）如图,在抛物线的对称轴上与否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在,求出四边形周长的最小值;若不存在,请阐明理由.【分析】(1)设交点式为y=a（x）(4）,然后把C点坐标代入求出a，于是得到抛物线解析式为yx2;(）先拟定抛物线的对称轴为直线=，连结BC交直线x
5、=于点P，如图,运用对称性得到PA=，因此PA+C=PC+B=BC,根据两点之间线段最短得到PCA最短，于是可判断此时四边形PC的周长最小，然后计算出BC=5，再计算O+A+BC即可.【解答】解：(）设抛物线解析式为y=a(x)（x4），把C(,3)代入得（)（4），解得,因此抛物线解析式为y=（1)(x）,即x2x+3；（)存在由于（1，0)、B(4，），因此抛物线的对称轴为直线x=,连结BC交直线x=于点P，如图，则PA=B,P+=C+PBBC，此时PC+PA最短,因此此时四边形PAOC的周长最小,由于B=5，因此四边形PAOC周长的最小值为3+5=【点评】本题考察了待定系数法求二次函数的
6、解析式：在运用待定系数法求二次函数关系式时,要根据题目给定的条件，选择恰当的措施设出关系式,从而代入数值求解一般地,当已知抛物线上三点时，常选择一般式,用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时,常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解也考察了最短途径问题.2.(上城区一模)设抛物线y=(+)（x)与x轴交于A、两点（点在点的左边）,与y轴交于点B(1)求A、三点的坐标;(2）已知点在坐标平面内，D是顶角为120的等腰三角形,求点的坐标;（3）若点、Q位于抛物线的对称轴上,且PQ=，求四边形BQ周长的最小值【考点】二次函数
7、综合题菁优网版权所有【分析】（1)令x=，求出与y轴的坐标；令y=0,求出与x轴的坐标;(2）分三种状况讨论:当AB为底时,若点D在B上方；若点D在AB下方;当A为腰时，A为顶点时,当AB为腰时，A为顶点时;仔细解答即可.（3)当AP+BQ最小时，四边形ABP的周长最小,根据轴对称最短途径问题解答【解答】解:(1）当x0时,y=;当=0时,x1或x；则A（1,），B（0,）,(2,0);（2)如图，Rt中,OA1,OB,AB2,ABO=30，BAO=60,AB是顶角为120的等腰三角形当B为底时，若点在B上方,由ABO=BAD=3,A=2，得D（0,），若点D在AB下方，由BDDBA30，AB
8、=2,得D2（1，）,当B为腰时，A为顶点时，DAB=10，OAB0,AD=A=2，点D在轴或x轴上,若D在y轴上,得3(0，),若D在x轴上,得D(3,0）;当AB为腰时,A为顶点时,若点在第三象限,DBO=150,D2，得D5(，2);若点在第四象限时，Bx轴，BD=2,得6(2，）,符合规定的点的坐标为(0，)，（1,），(,),(3，0）,(1，2）,(2,）;（）当AP+Q最小时，四边形ABQP的周长最小,把点向上平移个单位后得到1(0,),1Q，且B1=P,四边形B1PQ是平行四边形,BQ=BP,AP+QAP+,要在直线x=上找一点P,使得P+B1P最小，作点1有关直线x的对称点，得B2（1,）,则A2就是A+BQ的最小值,AB2=，B=2,=，四边形ABQ的周长最小值是+2.【点评】本题考察了二次函数综合题，波及二次函数与x轴的交点、与y轴的交点、等腰三角形的性质、勾股定理等内容，存在性问题的浮现使得难度增大
