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1、函数极值问题的探讨目录1 引言 12 一元函数极值问题的求解 12.1 极值的求解步骤 22.2 极值的求法实例分析 23 二元函数极值问题的求解 33.1 极值的求解步骤 43.2 二元函数极值的矩阵求法 74 三角函数极值问题的求解84.1 关于正弦，余弦函数极值的求法84.2 关于正弦，余弦二次函数极值的求法84.3 有条件制约的三角函数极值的求法95 条件极值与拉格朗日乘数法95.1 拉格朗日乘数法105.2 条件极值的求法步骤115.3 条件极值的求解方法及实例分析116 极值问题在实际生活中的应用136.1 极值理论拯救生命136.2 极值理论在其他行业的应用147 小结14参考文
2、献15致谢16丽水学院2012届学生毕业论文函数极值问题的探讨理学院 数学082本 田睿 指导师：金云娟摘要本文从一元函数极值，二元函数极值，三角函数极值，条件极值四个方面对函数极值问题的求法与应用展开讨论，通过以上讨论，旨在为以后的学习和实际工作带来一定的方便关键词 极值；三角函数；一元函数；二元函数；条件极值1引言函数极值问题是数学课程的重要内容，是有关函数的一个重要研究课题，对于掌握函数有重 要的彳用.在有关函数极值的相关问题中，函数极值的求法是其中的重点和难点，因为不同的函 数有不同的求解方法，所以受到人们的普遍关注，研究成果丰富.近些年来，有关的研究中都有关于函数极值问题的讨论，并在
3、不少的学报及学术性论文中都有关于函数极值的有关见解，使得 函数极值问题有了更大的发展.本文主要研究一元函数，二元函数，三角函数极值，条件极值的求法以及应用，重点解决有 关函数极值的求解方法和应用，在介绍方法时给出了例题，有助于对函数极值的理解，为更好的 学习提供更好的帮助，能快速、清晰的解决数学问题2 一元函数极值问题的求解定义11(一元函数极值的定义)设函数f(x)在x0的某个邻域有定义，如果对x0该邻域的所有点，都有 f (x) 0 xx0 如果3，则X0是f(x)的极大值点；J(x) X0上 B f(x) 0 x 0x x0如果在x0点的邻域内，f(x0)不变号，则x0不是f(x)的极值
4、点.定理32(极值第二充分条件)设函数f(x)在x0二阶可导，f(x0)=0f(x0)0则为极大值；f(x0)A0则为极小值.定理42 (极值的第三充分条件)设f (x)在x0的某领域内存在直到 n -1阶导函数，在x0处n阶可导且f(k)(x) -0(k-1,2IHn-1), f(n)(x) -0,则 当n为偶数时，f (x)在x0处取得极值，且当f(x) 0时取极 小值.当n为奇数时，f (x)在x0处不取极值.2.1 极值的求解步骤函数f (x)的定义域；并求f (x),并在定义域内求f (x) = 0的点(驻点)和f (x)不存在的点;对于驻点可利用极值的第一充分条件或极值的第二充分条
5、件判定，对于导数不存在的点利 用极值的第一充分条件确定函数的极值点；求出各极值点的函数值，得到函数的极值2.2 极值的求法实例分析例13求f (x) = (2x +5)次 的极值点和极值.(极值第一充分条件)52解 f (x) =(2x +5)x2 =2x3 -5x3 在(一,)上连续，且当 x#0 时，有f (x)=10x-1易见，x=1为f的稳定点，x=0为f的不可导点，这两点是否是极值点，需要做进一步讨论，现列表如下(表中 口表示递增，表中匚 表示递减)x( 0)0(0,1)1(小)F y+不存在-0+y0-3例2求函数f (x) =(X2 -1 3 +1的极值.(极值第二充分条件)解(
6、I) f(x)= 6x(x2 -12.(2) .令 f 仅)=0 ,求得驻点 x = 一1, x2 =0, x3 = 1.(3) f x =6x2-1 5x2 -1.(4) .因f (0)=60 .所以f(x而x=0处取得极小值.极小值为f(0)=0，(5) .因f 1 )= f “(1)=0在1的左右邻域内f(x)0 所以 f (x)在 x =,时 取得极小值.求三阶导数，有f (x) =6x(35x3 -60x2 30x -4)f (0) =0, f (1) 0.由于n=3为奇数，知f (x)在x = 1处不取极值.再求四阶导数f(4) (x) = 24(35x3 -45x2 15x-1)
7、,有f(0) 0.因为n=4为偶数，故f (x)在x = 0取得极大值，综上所述， f(x)在x=0为极6912823543大值,44 4 3 3f (-)-(-)(一)777为极小值.3二元函数极值问题的求解定义24 (二元函数极值的定义)(x0, y)设函数z=f(x, y)在点(Xo，yo)的某个邻域内有定义,对于该邻域内任一异于的点(x , y ),如果f (x, y) f(Xo,yO),则称函数在点(xo,yo)处有极大值f(x,yo)如果f (x,y) a f (%,yo),则称函数在点(xo,yo)处有极小值f(xO,yo)定理54极值的充分条件设函数z=f(x, y)在点(x0
8、,yo)的某邻域u(Po)连续且有一阶与二阶连续偏导数，如果fn(xo,yo) = 0, fyr(xo,yo)=0,设 A =喘(x。, y),B = fxy(x。, y0),C = fyy(%, y。),则当B2AC0时，f(x0,yo)为极小值；当A (或C) 0极小值 a0极大值 0为极小值，A 0为极大值;,如果AC - B2 = 0 ,判别法失效，需进一步判断；如果AC - B2 0又A 0,所以函数在(1,0)处有极小值f(1,0) = 5；2在点(1,2)处，AC -B =12.(4) 0,所以f(1,2)不是极值；在点(-3,0) 处，AC B2 =12 6 0 ,所以 f (
9、-3,0)不是极值；在点(-3,2)处，AC -B2 = 12 (-6) a 0又A 0所以函数在(-3,2)处有极大值f (-3,2)=31.例55某公司通过电台及报纸两种方式做销售广告，收入R万元与电视广告费 x万元及报纸广告费y万元之间的关系为：R=15+14x + 32y -8xy-2x2 -10y2. 在广告费用不限的情况下，求最佳广告策略； 若提供的广告费用为总额 1. 5万元，求相应最佳广告策略.解利润函数为L(x,y) =R(x + y) =15 + 13x + 31y - 8xy - 2x2 -10y2,求函数L的各个偏导数，并令它们为0,得方程组：FL二13 -8y - 4x = 0,x- xx:L二31 - 8x - 20y = 0.fy解得 x= 0.75, y =1.25.则(0.75,1.25)为 L(x, y)惟一的驻点.又由题意，L(x,y)可导且一定存在最大值，故最大值必在这惟一的驻点处达到.所以最大利润为 L(0.75,1.25) =39.25万元.因此，当电视广告费与报纸广告费分
