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1、经典难题一1、已知：如图,O是半圆的圆心,C、E是圆上的两点,CDAB,EFAB,EGCO求证：CDGF初二AFGCEBOD解析.如下图作GHAB,连接EO.由于GOFE四点共圆,所以GFHOEG,即GHFOGE,可得=,又CO=EO,所以CD=GF得证.1、2、已知：如图,P是正方形ABCD内点,PADPDA150APCDB 求证：PBC是正三角形初二解析. 如下图做DGC使与ADP全等,可得PDG为等边,从而可得DGCAPDCGP,得出PC=AD=DC,和DCG=PCG150所以DCP=300 ,从而得出PBC是正三角形2、D2C2B2A2D1C1B1CBDAA13、如图,已知四边形ABC
2、D、A1B1C1D1都是正方形,A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点求证：四边形A2B2C2D2是正方形初二解析.如下图连接BC1和AB1分别找其中点F,E.连接C2F与A2E并延长相交于Q点,连接EB2并延长交C2Q于H点,连接FB2并延长交A2Q于G点,由A2E=A1B1=B1C1= FB2 ,EB2=AB=BC=FC1 ,又GFQ+Q=900和GEB2+Q=900,所以GEB2=GFQ又B2FC2=A2EB2 ,可得B2FC2A2EB2 ,所以A2B2=B2C2 , 又GFQ+HB2F=900和GFQ=EB2A2 ,从而可得A2B2 C2=900 ,同理可得其
3、他边垂直且相等,从而得出四边形A2B2C2D2是正方形.3、ANFECDMB4、已知：如图,在四边形ABCD中,ADBC,M、N分别是AB、CD的中点,AD、BC的延长线交MN于E、F求证：DENF解析.如下图连接AC并取其中点Q,连接QN和QM,所以可得QMF=F,QNM=DEN和QMN=QNM,从而得出DENF.4、经典难题二1、已知：ABC中,H为垂心各边高线的交点,O为外心,且OMBC于MADHEMCBO1求证：AH2OM；2若BAC600,求证：AHAO初二解析.延长AD到F连BF,做OGAF,又F=ACB=BHD,可得BH=BF,从而可得HD=DF,又AH=GF+HG=GH+HD+
4、DF+HG=2=2OM连接OB,OC,既得BOC=1200, 从而可得BOM=600, 所以可得OB=2OM=AH=AO,得证.1、GAODBECQPNM2、设MN是圆O外一直线,过O作OAMN于A,自A引圆的两条直线,交圆于B、C与D、E,直线EB与CD分别交MN于P、Q求证：APAQ初二2、3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内,则由此可得以下命题：OQPBDECNMA设MN是圆O的弦,过MN的中点A任作两弦BC、DE,设CD、EB分别交MN于P、Q求证：APAQ初二解析.作OFCD,OGBE,连接OP,OA,OF,AF,OG,AG,OQ. 由于, 由此可得ADFABG,从而可得AFC=A
5、GE. 又因为PFOA与QGOA四点共圆,可得AFC=AOP和AGE=AOQ,AOP=AOQ,从而可得AP=AQ.3、PCGFBQADE4、如图,分别以ABC的AC和BC为一边,在ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG,点P是EF的中点求证：点P到边AB的距离等于AB的一半初二解析.过E,C,F点分别作AB所在直线的高EG,CI,FH.可得PQ=. 由EGAAIC,可得EG=AI,由BFHCBI,可得FH=BI. 从而可得PQ=,从而得证.4、经典难题三1、如图,四边形ABCD为正方形,DEAC,AEAC,AE与CD相交于FAFDECB求证：CECF初二解析.顺时针旋转ADE,到ABG,
6、连接CG. 由于ABG=ADE=900+450=1350 从而可得B,G,D在一条直线上,可得AGBCGB. 推出AE=AG=AC=GC,可得AGC为等边三角形.AGB=300,既得EAC=300,从而可得A EC=750. 又EFC=DFA=450+300=750. 可证：CE=CF.1、2、如图,四边形ABCD为正方形,DEAC,且CECA,直线EC交DA延长线于FEDACBF求证：AEAF初二解析.连接BD作CHDE,可得四边形CGDH是正方形.由AC=CE=2GC=2CH, 可得CEH=300,所以CAE=CEA=AED=150,又FAE=900+450+150=1500,从而可知道F
7、=150,从而得出AE=AF.2、3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点,PFAP,CF平分DCEDAEPCBA求证：PAPF初二解析.作FGCD,FEBE,可以得出GFEC为正方形. 令AB=Y ,BP=X ,CE=Z ,可得PC=Y-X . tanBAP=tanEPF=,可得YZ=XY-X2+XZ, 即Z=X ,既得X=Z ,得出ABPPEF , 得到PAPF ,得证 .3、ODBFAECP4、如图,PC切圆O于C,AC为圆的直径,PEF为圆的割线,AE、AF与直线PO相交于B、D求证：ABDC,BCAD初三4、经典难题四1、已知：ABC是正三角形,P是三角形内一点,PA3,PB4,P
8、C5APCB求：APB的度数初二解析：顺时针旋转ABP 600 ,连接PQ ,则PBQ是正三角形.可得PQC是直角三角形.所以APB=1500 .1、PADCB2、设P是平行四边形ABCD内部的一点,且PBAPDA求证：PABPCB初二解析.作过P点平行于AD的直线,并选一点E,使AEDC,BEPC.可以得出ABP=ADP=AEP,可得：AEBP共圆一边所对两角相等.可得BAP=BEP=BCP,得证.2、3、Ptolemy托勒密定理：设ABCD为圆内接凸四边形,求证：ABCDADBCACBDCBDA初三解析.在BD取一点E,使BCE=ACD,既得BECADC,可得：=,即ADBC=BEAC,
9、又ACB=DCE,可得ABCDEC,既得=,即ABCD=DEAC, 由+可得: ABCD+ADBC=AC= ACBD ,得证.3、4、平行四边形ABCD中,设E、F分别是BC、AB上的一点,AE与CF相交于P,且AECF求证：DPADPC初二FPDECBA解析.过D作AQAE ,AGCF ,由=,可得：=,由AE=FC. 可得DQ=DG,可得DPADPC角平分线逆定理.4、证明：过D作DQAE,DGCF,并连接DF和DE,如右图所示 则SADE=SABCD =SDFC AEDQ = DGFC又AE=FC,DQ=DG,PD为APC的角平分线,DPA=DPC经典难题五APCB1、设P是边长为1的正
10、ABC内任一点,lPAPBPC,求证：L2解析.1顺时针旋转BPC 600 ,可得PBE为等边三角形.既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP,PE,EF在一条直线上,即如下图：可得最小L= ； 2过P点作BC的平行线交AB,AC与点D,F. 由于APDATP=ADP,推出ADAP 又BP+DPBP 和PF+FCPC 又DF=AF 由可得：最大L 2 ； 由1和2既得：L2 .1、ACBPD2、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点,求PAPBPC的最小值解析.顺时针旋转BPC 600 ,可得PBE为等边三角形.既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP,PE,E
11、F在一条直线上,即如下图：可得最小PA+PB+PC=AF.既得AF= = = = = = .2.ACBPD3、P为正方形ABCD内的一点,并且PAa,PB2a,PC3a,求正方形的边长解析.顺时针旋转ABP 900 ,可得如下图： 既得正方形边长L = = .EDCBA4、如图,ABC中,ABCACB800,D、E分别是AB、AC上的点,DCA300,EBA200,求BED的度数解析.在AB上找一点F,使BCF=600 , 连接EF,DG,既得BGC为等边三角形, 可得DCF=100 , FCE=200 ,推出ABEACF , 得到BE=CF , FG=GE . 推出 ： FGE为等边三角形
12、,可得AFE=800 , 既得：DFG=400 又BD=BC=BG ,既得BGD=800 ,既得DGF=400 推得：DF=DG ,得到：DFEDGE , 从而推得：FED=BED=300 .8.初中数学题证明：已知AB为半圆O的直径,C为半圆上的一点,CD垂直AB,圆O1切半圆于Q,切CD于P,切AB于R,求证：BC=BR.证明：连接ACAB是O的直径ACB=90CDABCDB=90=ACB又B=BACBCDBAAAB/BC=BC/BDBC2=BDABO1与CD、AB相切O1PD=O1RD=90=PDR四边形O1RDP是矩形O1R=O1P四边形O1PDP是正方形RD=O1RO与O1相切于Q点Q、O1、O在同一直线上设O的半径为R,O1的半径为r则OO1=R-r,O1R=RD=rOR=OO12-O1R2=R2-2RrBD=OB-OD=OB-R
