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1、-第一章1-4节1、计算以下极限7分析：此题分子分母同时趋近于0，根据表达式的形式，考虑利用约分将趋于0的项约去。解：原式9分析：此题分子分母同时趋于0，但不能约分，利用复合函数求极限，通过变量替换进展求解解一：令。解二：利用三角函数的和差化积，以及等价替换11(应该为4)13此题利用了分子有理化2、计算以下极限1解：因为，无穷小与有界函数之积仍然为无穷小，所以原式=023第一章1-5节1、计算以下极限2解法2：原式5解法2：原式7分析：此题利用了变量替换和等价替换9分析：时，。利用102、计算以下极限136783、利用夹逼准则证明：1证明：令，或则，且，根据夹逼准则，2证明：令，或则，且，根
2、据夹逼准则，3证明：令，则。因为 ，所以，因而。4证明：，所以B1、计算以下极限：123456783、要使，其中的常数应取何值.解：，则.1-65、利用等价无穷小的代换性质，计算以下极限12345678B2、设，如果时，是无穷小量，则与应如何选择.解：根据题意，因此。3、计算以下极限12)3)4)5)7)8)9)1-8A-1、证明方程至少有一根在1与2之间。证明：，而上是连续函数，根据零点存在定理，在之间存在零点，即方程至少有一根在1与2之间。A-2、设，证明方程至少有一正根，并且它不超过。证明：令，则假设，则为方程的一个根。否则，根据零点存在定理，至少有一根位于。命题成立。A-3、证明方程有
3、且只有一个小于1的正根。证明：令，则，根据零点存在定理，在至少存在一个根。另一方面，令，所以为上的严格单调增加的函数，因此原方程有且只有一个小于1的正根。A-4、设函数在上连续，且，证明方程在上至少存在一根。证明：令，则，因为，所以，假设，则0和1均为原方程的根。否则，根据零点存在定理，原方程在上至少有一根。证明完毕。A-5、设函数在上连续，且它的值域也是，证明至少存在一点，使。证明：令，则。假设或，则命题成立。否则，根据零点存在定理，命题依然成立。B-3、设函数在上连续，。证明，至少存在一点，使得。证一：令，因为在上连续，则在上连续。令在和处分别取得上的最大值和最小值，因为所以。假设或，则命
4、题成立。否则，根据零点存在定理，至少存在一点，使，故原命题依然成立。证二：令在上的最大和最小值为和，根据介值定理，至少存在一点，使得。第二章2-1B-3、设，讨论在处的连续性与可导性。解：，显然在处连续。又，因此在处可导。B-4、函数，所以连续，所以可导B-5、设存在，且，求解：。B-6、设函数在处可导，求。极限存在的充要条件是，。B-7、函数在第一类连续处能否同时存在左导数和右导数。解：因为。假设左导数存在，则，即。同理左导数存在，则，即。可见在第一类连续处左、右导数不可能同时存在，否则连续，与条件矛盾。B-8、设，其中在处连续，求。解：2-2A-3、1解：A-3、3解：A-3、4解： A-
5、3、5解：A-3、7解：A-3、8解：A-4、1)解：A-4、2)解：A-4、3)解：A-4、4)解：A-4、5)解：A-4、6)解：A-4、7)解：A-4、8)解：A-8、1)解：，A-8、2)解：，A-8、3)解：，A-8、4)解：，A-8、5)解：，A-8、6)解：A-8、7)解：，A-8、8)解：，B-2、1，2，B-3、设，令，求。解：令，注：此题关键是把看成，的复合函数。B-4、设，其中具有二阶导数，求解：对于不熟悉的同学来说，此题最好先将函数进展复合，然后进展求导。另解：令，。则，B-5、设且，求解：令，则所以，即第二章第三节1、求以下各方程所确定的隐函数的导数1解：方程两边对求
6、导数得：，解得2解：方程两边对求导数得：，解得3解：方程两边对求导数得：，解得4解：方程两边对求导数得：，解得5解：方程两边取对数得：。再在两边对求导数得：，解得6解：方程两边对求导数得：。解得：2、求曲线在点处的切线方程和法线方程。解：曲线方程两边对求导数得：。解得：。所以曲线在点处的切线方程的斜率为，法线方程的斜率为。可得切线方程为：，即法线方程为：，即3、求以下参数方程所确定的函数的导数：1解：2解：3解：4解：4、，求时的值。解：5、利用对数求导法则求以下函数的导数：1解：两边取对数得：。再在两边对求导得：2解：两边取对数得：。再在两边对求导得：3；解：两边取对数得：。再在两边对求导得
7、：，4解：两边取对数得：。再在两边对求导得：，6、设一球状雪球正在融化，其体积以的速率减少，问当直径为时，直径减少的速率为多少.解：令雪球的半径和体积分别为，则。依题目意，又有，故，时，。7、一气球离开观察员处离地上升，上升速率为。当气球高度为时，观察员视线的仰角增加率是多少.解：令气球高度为时仰角为，则，当气球高度为时，观察员视线的仰角增加率8、溶液从深为，顶直径为的正圆锥形漏斗中漏入一直径为的圆柱形筒中，开场时漏斗中盛满了溶液，当溶液在漏斗中深为时，其外表下降的速率为，问此时圆柱形溶液外表上升的速率为多少.解： 令溶液在漏斗中深为时，外表下降的速率为，液面半径为，圆柱形下降速度为，根据体积
8、平衡，流出液体与流入液体体积相等，故。而，所以：B局部1、设，求解：方程两边对求导数得：。在原方程中代入得，。将和代入导数方程得：，解得。2、设是由方程所确定的隐函数，试求导数解：方程两边对求导数得：。在原方程中代入得，。将和代入导数方程得：，3、设，且当时，求和。解：依题意，令，则，即。4、设为椭圆外的一点，过点作椭圆的切线，求该切线的方程。解：椭圆方程两边对求导数得：，。令为该切线与椭圆的交点，则切线的斜率为：，另一方面为该切线与椭圆的交点，则。联立这两个方程：，得：，。得，所以切线方程为：或。5、设，求此题为参数所决定的函数求导数与隐函数求导数结合的一个题目解：，所以。第二章第四节A-6
9、、求以下函数的微分1，2，3，4，5，6，7，8，B-1、求以下函数的微分：1，2，3，4解：令，两边取对数得：，两边再取导数得：，所以，即。B-2、计算以下各量的近似值：12)3)4)因为，所以5)3、说明在充分小时，有近似公式解：令，微分公式成立：，所以利用这一公式，4、测量球的直径D时，有的误差。试问用计算球的体积时，相对误差有多少.解：由相对误差公式，体积的相对误差为5、利用微分计算当由变到时函数的增量的近似值弧度解：，由微分公式得：6、第三章3-11、对函数在上验证罗尔定理。解：在上连续，且在可导，又，所以满足罗尔定理。，。2、试证明：函数在任何区间上应用拉格朗日中值定理所求得的点总
10、是该区间的中点。证明一：在任意区间上连续，且在上连续，所以，使解得：。证明二：，所以，命题成立。3、证明：方程在不可能有两个不同的根。证明用反证法：假设在有两个不同的根，令，根据罗尔定理，使，而这一方程在上无解，证明完毕。说明：这里没有严格验证罗尔定理。4、设函数在具有二阶导数，且，其中，证明：在至少有点，使得。证明：因为在具有二阶导数，所以在上连续，在上可导，且，由罗尔定理，使。同理，使。同样因为在具有二阶导数，在在上连续，在上可导，所以，在上连续，在上可导，且，根据罗尔定理，使。5、函数，不求的导数，讨论方程的实根并指出它们所在的区间。解：是多项式函数，所以在上连续并可导，且其导函数为3次
11、多项式。另一方面，根据罗尔定理，使。同理，使；，使。因为为3次多项式，所以不存在其它根。6、证明：在上，恒成立。证明：，所以。另外，所以。7、以下函数在指定区间上是否满足罗尔定理的条件.假设满足，则在该开区间求，使。1，解：，显然在处导数不存在，所以不满足罗尔定理。2，解：显然在处无意义，所以在上不连续，所以不满足罗尔定理。3，解：显然在上连续，在上可导，且，所以满足罗尔定理。在上，使。4，解：，两者不相等，所以不满足罗尔定理。5，解：因为时，所以，因而在上连续。又不存在，所以在上不可导，所以不满足罗尔定理。8、应用拉格郎日中值定理证明以下不等式：1证明：时命题显然成立。假设，令，则在上连续，
12、在上可导，由拉格朗日中值定理，使，所以，。2证明：令，假设，则在上连续，在可导，由拉格朗日中值定理，使。因为且所以。而当时，在上连续，在可导，由拉格朗日中值定理，使，且，所以。证毕。3证明：令，在上连续，在上可导，由拉格郎日中值定理，使。所以有，4证明：令，在上连续，在上可导，由拉格郎日中值定理，使，所以。因为，所以，因而。9、以下函数在指定区间上是否满足柯西中值定理的条件.假设是，则写出结论并求。1，解：，因此不满足柯西中值定理条件。2，解：，在上和均不为零，因此满足柯西中值定理条件。，因为，解得。3，解：，在上和均不为零，因此满足柯西中值定理条件。，解得。10、求以下未定式的极限：123这
13、里利用了。因为时，故。4567) 8)9)另解：1011121314151617)18)11、验证存在，但不能用洛必达法则求出。解：而中，不存在，故不存在，所以该极限不能用洛必达法则求出。第三章第二节3、求以下函数的单调区间1解：的定义域为，在此区间上连续而且可导。，令，解得舍去，。在上，所以在而在上单调下降；在上，所以在而在上单调增加。2解：的定义域为，在此区间上连续而且可导。，令，解得，。在上，所以在而在上单调增加；在上，所以在而在上单调下降；在上，所以在而在上单调增加。3解：时，无意义，所以的定义域为。，所以在处连续。当时，所以在而在上单调增加。而当时，令，得。当时，所以在和上单调下降。当时，所以在而在上单调增加。4、求以下函数的最大值和最小值。1解：在上连续，令，得，。，。所以最大值为，最小值为。2解一：令，再令，可得，。，令，得。，。所以最大值为，最小值为。解二：将写成分段函数，再行求解。3解：，令得，。的定义域为，在、处不可导。，。所以最大值为，最小值为。5、证明：只有一个实根证明：令，显然。又，令，得。当时，所以在上为单调下降的函
