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1、第23讲非线性回归方程一、必备秘籍当经验回归方程并非形如V = bx + a （a,b e R ）时，称之为非线性经验回归方程，当两个变量不呈线性 相关关系时，依据样本点的分布选择合适的曲线方程来模拟，常见的非线性经验回归方程的转换方式总结 如下：曲线方程变换公式变换后的线性关系式V = axbc = In a, v = In x, u = In yu = c + bvy = aebxc = In a, u = In yu = c + bxby = aexc = In a, v = , u = In y xu = c + bvy = a + b In xv = In xy = a + bvy
2、= a + bRv = x, u = yu = a + bv建立非线性经验回归模型的基本步骤1. 确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是响应变量；2. 由经验确定非线性经验回归方程的模型；3. 通过变换（一般题目都有明显的暗示如何换元，换元成什么变量），将非线性经验回归模型转化为线性 经验回归模型（特别注意：使用线性回归方程的公式，注意代入变换后的变量）；4. 按照公式计算经验回归方程中的参数，得到经验回归方程；5. 消去新元，得到非线性经验回归方程；6. 得出结果后分析残差图是否有异常.二、例题讲解1. （2021 -全国高三专题练习（文）人类已经进入大数据时代.目前，数据量级已经从TB
3、（1TB =1024GB ） 级别跃升到PB （1PB=1024TB），EB （1EB=1024PB）乃至ZB（1 ZB=1024EB）级别.国际数据公司（IDC）研 究结果表明，2008年全球产生的数据量为0.49ZB，2009年数据量为0.8ZB，2010年增长到1.2ZB，2011 年数据量更是高达1.82ZB.下表是国际数据公司（IDC）研究的全球近6年每年产生的数据量（单位：ZB）及 相关统计量的值：年份201420152016201720182019序号x123456年数据量y6.68.616.121.633.041.0xyzY (x厂 x ) i=1和(z - Z ) i=1簇(
4、x - x K - y)iii=1簇(x -x)( Z)iii=13.521.152.8517.5813.82125.356.7316表中 z = In y , z =-习 z .=1（1）根据上表数据信息判断，方程y =厂s 3是自然对数的底数）更适宜作为该公司统计的年数据量y关 于年份序号x的回归方程类型，试求此回归方程（勺精确到0.01）.（2）有人预计2021年全世界产生的数据规模将超过2011年的50倍.根据（1）中的回归方程，说明这种判断是否准确，并说明理由.参考数据：e 4.56 95.58，砰58匚97.51，回归方程y = a + bx中，斜率最小二乘法公式为(x -x)一y
5、)工 x y - nxyiiiib = 1 (x - x) = TZZ3x xx nxiij=1i=1【答案】（1）y = e1.52+0.38x ；（2）见解析.【分析】设z = Iny，则z = m七+微，再根据参考数据及公式即可得解（2）先将x = 8代入得预计2021年数据量，进而和2011年的50倍比较大小即可得解【详解】(1)由y = c - e2 x，两边同时取自然对数得ln y = ln (c - g )= ln c + cx，1112设 z = ln y，贝口 z = ln 七 + c2 x.所以因为x = 3.5，z = 2.85，(x_ -x) = 17.58，(x,-I
6、)( -1)= 6.7. i=1i=1(x-x)C-z) 673OJij=1c = i=1 L /V=就 0.382 V (17.58lnq = Z - %x = 2.85 - 0.38x 3.5 = 1.52.所以 z = 1.52 + 0.38x = ln y，所以 y = e1.52+0.38 x ；（2）令x = 8，得 y = e1.52+0.38x8 = e4.56 95.58 1.82 x50 = 91.预计2021年全世界产生的数据规模会超过2011年的50倍.【点睛】关键点点睛：对于非线性回归方程的求解，一般要结合题意作变换，转化为线性回归方程来求解，同时也 要注意相应数据的
7、变化.感悟升华(核心秘籍)1、根据题目提供的参考数据，明显提示如何换元：Z = ln、,根据题意换元；2、题目提供了很多数据，对于(x -x)( - y) xy -nxy人iii ib - iT顶(_)-，寸 _代入的变量不能乙 V - x/乙 x2 - nx2iij=1i=1再直接选择x, y的数据，而应该选择换元后的变量的 数据，字母z = In y字母z，替换了字母y，而字母 x没有换元，所以公式修改为(x - x)(z - z) 1Lx z -nxz?iii ib - i=1项() 一寸_，修改后，在从(x - x r x 2 - nx2iij=1i=1参考数据总选择需要的数据代入计算
8、。2. (2021 -全国高三专题练习(文)有一种速度叫中国速度，有一种骄傲叫中国高铁中国高铁经过十 几年的发展，取得了举世瞩目的成就，使我国完成了从较落后向先进铁路国的跨越式转变中国的高铁技术 不但越来越成熟，而且还走向国外，帮助不少国家修建了高铁.高铁可以说是中国一张行走的名片.截至到 2020年，中国高铁运营里程已经达到3.9万公里.下表是2013年至2020年中国高铁每年的运营里程统计表， 它反映了中国高铁近几年的飞速发展：年份20132014201520162017201820192020年份代码x12345678运营里程y (万公里)1.31.61.92.22.52.93.53.9
9、根据以上数据，回答下面问题.(1) 甲同学用曲线J = bx + a来拟合，并算得相关系数r1 = 0.97，乙同学用曲线y = cedx来拟合，并算得 转化为线性回归方程所对应的相关系数二=0.99，试问哪一个更适合作为y关于x的回归方程类型，并说 明理由；(2) 根据(1)的判断结果及表中数据，求y关于y的回归方程(系数精确到0.01 ). (x - x)(y - y)ii参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式：b = f,a = y -bx ；参考数据：匕(x - x)2ii=1y = 2.48,(x. -x)(y. y) = 15.50, (x. -x)2 = 42.00,令w
10、 = In y, w = 0.84, X (x - x )(w -w)= 6.50,X(w -w)2 = 1.01 ,00.14 = 1.15.i=1i=1【答案】(1)答案见解析；(2) y = 1.150.15x.【分析】(1)比较已知的相关系数大小关系即可得出正确答案；(2)由已知数据求出X ,结合回归方程变形为 lny = lnc + dx，求出d和lnc，从而可求出回归方程.【详解】 解：(1).0 r1 1，- y =更适合作为y关于x的回归方程类型.(2)由 y = cedx 得 ln y = ln c + dx ,_ = 1 = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 +
11、8 = 36 = 45x = 8 =.，X (x - x )(w -w)即 w = ln c + dx ,贝 g d =云二i=0.15则 X(x -1)242i所以 y = cedx = e0.14+0.15x = e0.14e0.15x = 1.15e0.15x.i=1ln c = w dx = 0.84 - x 4.5 0.14 , 84【点睛】关键点睛：本题考查了回归方程的求解，本题第二问的关键是对回归方程，结合对数的运算性质进行变形，结合最小 二乘法求线性回归方程的系数公式进行求解.感悟升华(核心秘籍)1、根据题目提供的参考数据，明显提示如何换元：w, = In y,根据题意换元；2
12、、题目提供了很多数据，对于X(x -x)(y -y) Xxy -nxy人iii ib=w=专代入的变量不能X V - xrX x2 - nx2iij=1i=1再直接选择x, y的数据，而应该选择换元后的变量的 数据，字母w = ln y字母w，替换了字母y，而字 母x没有换元，所以公式修改为X(x - x)(v - w) Xxw -nxw入iii ib = i=1项(_)二寸 _ ，修改后，在X(x - x rX x 2 - nx2iij=1i=1从参考数据总选择需要的数据代入计算。三、实战练习1. (2021山东荷泽高三二模)“十四五”是我国全面建成小康社会、实现第一个百年奋斗目标之后， 乘
13、势而上开启全面建设社会主现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的第一个五年，实施时间为 2021年到2025年.某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备加大研发资金投入，为了 解年研发资金投入额x (单位：亿元)对年盈利额)(单位：亿元)的影响，通过对“十二五”和“十三五” 规划发展10年期间年研发资金投入额七和年盈利额七(i = 1,2,.,10 )数据进行分析，建立了两个函数模型： y = a +阮；y =如,，其中侦，P，入，t均为常数，e为自然对数的底数V = 5.36，旧(X - X) = 100，i=1冲.顼)(.V)= 18，问:i=1令七二x2,vi = In
14、y, (i = 1,2, ,10)，经计算得如下数据：X = 26， = 215，U = 680 史。厂 U)= 22500，史(ui - u )(y-y )= 260，旧(y - ) = 4，旧.-V)= 4 i=1i=1i=1i=1(1) 请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合度更好？(2) 根据(1)的选择及表中数据，建立，y关于尤的回归方程(系数精确到0.01)(3) 若希望2021年盈利额y为500亿元，请预测2021年的研发资金投入额尤为多少亿元？(结果精确到 0.01)乙(x - x)(y - y)ii附：相关系数r=，1:JZ (xx )2JzL (y - y )2i =1i =1项 - 一乙(x - x)(y - y)ii 人回归直线y = bx + a中：b =宜， a = y -bx2L (x -如)2i i=1参考数据：ln2 = 0.693，ln5 = 1.609.【答案】(1)模型 y = e 入 x+t 的拟合程度更好；(2) y = e0.18x+0.68 ； (3) 30.74亿元.【分析】(1) 分别计算两个函数模型的相关系数匕和
