《梅开萍“导数在研究函数中的应用”教学案例》由会员分享，可在线阅读，更多相关《梅开萍“导数在研究函数中的应用”教学案例（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、“导数在研究函数中的应用”教学案例导言：高中数学内容抽象，推理严谨，应用广泛，难教难学，已成为横跨在相当一部分学子面前一道难以逾越的“坎”，不少学生不免谈“数”色变，敬而远之，乃至发出数学在时时“折磨我们”的惊叹!笔者从大学毕业一直从事中学数学的课堂教学与教学研究，通过几年的探索发现：要想提高课堂效率，就必须改变传统的“填鸭式”教学让学生成为课堂的主人，并积极引导学生要善于从数学的基本问题与特点出发，善于用数学的思想与方法驾驭数学知识！设计理念：根据新课程高中数学的教学实际及本节课的内容特点，本课时的教学先从几个基本问题入手，在解决基本问题的过程中唤起学生对基础知识、基本方法、基本技能的回顾，
2、充分体现了“学数学就是做数学”的理念.；通过变式训练来凸现“数学思维与思想方法”、显现数学问题的紧密联系性，让学生初步感知数学的自然、简约与美好；通过学生自编练习来培养学生的发散性思维和创造性潜能.教学目标：1、知识目标：掌握利用导数求函数单调区间、极值、最值的一般方法，理解极值、最值区别与联系.2、能力目标：通过本节内容的教学，渗透数形结合、化归等重要数学思想，增强学生数形结合能力与化归意识，培养学生的创造性潜能.3、情感目标：通过利用表格研究函数单调性与数形结合的应用，让学生亲身体验数学的简约美，感受极值、最值的和谐统一美，激发学生“学好数学”的情趣，增强学生“学好数学”的信心.教学重点：
3、能利用导数求一些初等函数的单调区间、极值、最值.教学难点：导数在研究函数中的综合应用.教学过程实录：1 基本问题：再现知识，夯实“双基”教师：牛顿、莱布尼兹创立了微积分，导数作为微积分的重要组成部分，进入了中学教材，有了导数这个工具，我们研究函数如虎添翼.这节课我们从一个基本问题出发，来一次利用导数研究函数的探索之旅.请看下面的问题：问题1 已知函数.（1） 求单调区间；（2）的极值.学生1（板演）：解：（1） 令得：或；令得：的单调递增区间为，单调递减区间为（2）由（1）可知，当时，有极大值；当时，有极小值.教师：你能根据已经解决的两个问题，画出的大致图象吗？学生众：能！教师：请画出的大致图
4、象（一名学生到黑板上画）教师：请大家对这位同学画的图与屏幕上“几何画板”画的图作一下比较（对学生画的图的评价略）12-1O教师：从的图象看，在上有无最大值、最小值？学生2：由于的图象无最高点、最低点，所以在上无最大值、最小值.教师：很好.如果将定义域限制在闭区间上呢？学生3：在闭区间上必有最大值和最小值.教师：为什么？学生3：是可导函数，在闭区间上连续，所以必有最大值和最小值.教师：不错，这位同学的基本功很扎实.现在请同学们解决问题2.问题2 求函数，的最大值、最小值.学生4（板演）：在问题1的基础上，列表如下：0（0，）（，2）2（2，）40000.学生3：利用的图象可以直接求出的无最大值、
5、最小值.教师：太棒了！学生4从数的角度解决了问题2，学生3从形的角度解决了问题2.如果把这两位同学结合起来，也就是把数跟形结合起来了.学生4采用了表格，不仅单调性表示得很清楚，而且最大值、最小值也很明显，真可谓是“一举两得”；而学生3采用图象，让我们从直观上看到函数增减性很最值，可谓是各有千秋啊！他们的共同点是：简洁明了.教师：力求简约，追求卓越，是数学的一大魅力.数学实际上很美，只是我们缺少了审美的眼光！有人说数学是无声的诗、立体的画，而我个人认为数学如同音乐般美丽，可以说“音乐是感性的数学，数学乃理性的音乐”，你听说过吗？学生众：没有！教师：要学好数学、玩好数学，我们需要一双慧眼，去努力发
6、掘蕴涵数学之中的美如图形美、结构美、对称美、简洁美、和谐美等等，要学会处处体验数学的自然、简约与美好！教师：问题1与问题2说明利用导数可以研究函数的哪些性质？如何研究？学生众：其一，求函数的单调区间；其二，求函数的极值；其三，求函数的最值.（方法从略）教师：这三类问题是利用导数研究的主要问题，刚才同学们归纳得相当不错，表明大家对导数的应用有了较深刻的认识. 教师：学数学如果到这里就停下来，那你肯定称不上是一个数学“高手”，至少你是一个学数学很累的人！那么怎样才能学好数学？我们不仅要掌握数学的知识，而且更要增强用数学思维去理解、思考与解决问题的意识！下面我们将问题1、2进行变式，首先将的解析式中
7、的一次项系数改为，就成为含参数的函数了，得到如下的变式1，请同学们思考.2 变式练习：知识迁移，触类旁通变式1 已知函数在（1，2）上为减函数，在（2，）上为增函数，求实数的值.学生5：，由已知，是的极小值点，所以，得.教师：这样做有没有缺陷？学生3：还要检验，不过经过检验室符合的.教师：很好，如果去掉“在（2，）上为增函数”这一条件，结论如何呢？学生众(经过思考、讨论)：由已知，对恒成立，所以，解得.教师：我们暂时把这个问题搁置一下，来研究函数在上的单调性与其导函数的关系.学生：，所以函数在上是减函数.教师：回头看前面的解法有无问题？学生1：有点小问题.应该是对恒成立，下同.学生2：我还有一
8、种解法.由前面的解法，得对恒成立，而当时，所以.教师：已知含参数的函数在某区间上是增（减）函数，求参数的范围问题，通常利用“若是非常数函数，且为可导函数，则在某区间上是增（减）函数某区间上恒有”.转化为含有参数的不等式恒成立问题，学生1利用了二次函数的图象的性质，学生2利用了参数分离法，都是常用的方法.再来解决变式2.变式2 已知函数在处有极小值，求的值.学生6（板演）：.令，得或.由已知.是函数的极小值点，.教师：变式2是问题2第（2）小题的逆向问题：已知含参数的函数的极值点，求参数问题.请同学们归纳解决的策略.学生7：利用“可导函数在点处有极值的必要条件是”得到关于参数的方程，解出方程的根
9、，再检验.教师：完全正确，再来解决变式3.变式3 设函数，是否有“对任意不等式恒成立.”请说明理由.学生3：由问题3知，在上的最大值为，最小值为0，所以对任意恒有.教师：这种方法你是怎么想到的？学生3：从的图象得到启发.教师：讲得很在理，函数图象是研究函数不可或缺的工具，在今后可别忘了它的作用！变式3实际上是证明某区间上任意两个函数值的差的绝对值小于某正常数，我们的策略是转化为证明最大值与最小值的差小于此正常数，当然有一个前提是学生众：在此区间上有最大值与最小值.学生1：我的想法是将，代入，行吗？教师：这位同学爱动脑筋，这种方法请课后取探讨.现在请同学们编一道题目，就叫变式4吧.3 编题练习：
10、提升能力，发展思维学生4：我编的题目是：（变式4）已知函数的图象与直线有相异的三个公共点，求实数的取值范围.改为有相异的两个公共点呢？改为有相异的一个公共点呢？教师：你们觉得这位同学编的题目如何？学生：很有创意！教师：同学们还可以编出许多其他问题，请课后继续研究，现在请同学们解决这个问题（变式4）.学生：由图象可得当时，函数的图象与直线有相异的三个公共点；当或时，有相异的两个公共点；当或时，有一个公共点.教师：学生4编的题目是方程的根的个数问题，可以归结为函数的极值问题，同学们既能编题，也能解题，体现了较高的数学素质.现在请同学们谈谈学习这节课的感受.4 体验过程：完善学生认知，发展学生能力学
11、生4：想不到我也会编题.学生2：许多利用导数研究函数的问题可以归结为三类基本问题：求单调区间、求极值与求最值.学生5：在解决数学问题时，我们要注意各个问题的内在联系与不同之处，今后我要加强变式练习和编题练习.学生6：利用导数解决学生2提出的三类基本问题的一般步骤为：（1）求导函数（2）列表或作图来分析原函数的单调性（3）在定义域范围内具体解决问题.（具体方法从略）教师：非常好！前面几位同学都发表自己的感受，也总结了本节课的主要内容.我想其他同学也一定有自己的感受，课后大家要好好交流交流，这节课我们就上到这里！5 教学反思：1、本节课没有采用传统的数学复习课教学模式：知识归纳例题讲解反馈练习，而
12、是一开始呈现了问题1和问题2，在解决问题的同时唤起学生对基础知识、基本方法、基本技能的回顾，充分体现了“学数学就是做数学”的理念.然后，以学生的已有知识利用导数能求单调区间、极值、最值这一认知基础出发，让学生在新的问题情境中，引导学生运用作图、猜想、归纳、验证等方法解决问题，在问题解决过程中获得新知，让学生逐渐体会到数学问题的紧密联系，从而进一步完善数学认知结构.如果我们长期坚持这样去做，学生的创造潜能一定会得到充分发展.2、如果说数学新授课教学实现知识“从薄到厚”的话，那么数学复习课教学应实现“从厚到薄”.本节课紧紧抓住了利用导数研究函数的三类基本问题这一核心，变式1和变式2作为这三类问题的
13、逆向问题，解决问题的思想方法与原问题一脉相承，变式3和变式4最终可以转化为这三类问题，正所谓“万变不离其宗”.变式教学在培养学生数学技能和思维品质等方面不仅非常有效，而且非常实用，在教学中我们一定要充分运用.在复习课中，从一个有价值的基本问题出发，进而变换问题的条件、结论、逆向思维、变更设问方式，这样复习课就会成为学生数学探究的重要阵地.3、对于基础较好的班级，还可以让学生探究如下变式：当时，求证：不等式对恒成立.一方面，引导学生从形的角度去探索，可以利用“几何画板”进行动态演示，揭示问题的几何背景；另一方面，引导学生从数的角度去探索，把问题转化为函数的最值问题，进一步让学生感悟转化思想.4、教无定法，教师应根据本班的实际情况灵活安排教学步骤，切实把关注学生的发展放在首位来考虑，并依此制定合理而科学的教学计划.如，对于较好的班级，则可以优先发展，采取居高临下的教学思路，先整体把握再对比击破，或是将其纳入整体结构系统，采取类比的学习方式；而对于基础较薄弱的班级，则应以提高学习兴趣、教会学习、培养成功体验为主，千万不可拔苗助长，以防物极必反.总体来讲，我在教学中深刻的体会到新教材与以往的不同，新教材以学生为本的教学理念始终贯穿本课.我对自己教授本课基本上是满意的，完成了制定的教学目标.但有些细节还有待完善，在今后的工作中我将会改进.
