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1、压轴大题突破练直线与圆锥曲线(二)221.如图，已知点 A(1, . 2)是离心率为 右的椭圆C:詁+拿=1(ab0)上 的一点，斜率为 2的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点 互不重合.(1) 求椭圆C的方程；(2) ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.(3) 求证：直线 AB、AD的斜率之和为定值.C 212222(1)解 由题意，可得 e= a=2，b2 + a2= 1，a = b + c , 解得 a= 2, b = 2, c= 2,2 2所以椭圆C的方程号+ T = 1.解 设直线BD的方程为y=. 2x+ m, D(x1, y) B
2、(x2, y2),y= 2x+m,22由得 4x2 + 2 2mx+ m2 4 = 0,2 22x + y = 4,所以 = 8m2+ 640? 2.2m时， ABD的面积最大，最大值为2.证明 设直线AB、AD的斜率分别为kAB、kAD,yi J2 y2羽 J2xi + m羽 /2x2 + m羽xi + X2 2则 kAD + kAB=+=+= 2;2 + m xi 1X2 1xi 1X2 1X1X2(xi + X2 )+ 1(*)将中、式代入(*)式，-X1 + X2 2整理得2寸2+ m = 0,X1X2(X1+ X2 + 1即 kAB+ kAD = 0(定值)2 .在平面直角坐标系 x
3、Oy中，动点M到两定点F1(0, 一 3), F2(0, 一 3)的距离之和为 4, 设动点M的轨迹为曲线 C.已知直线I与曲线C父于A(x1, y1), B(x2, y2)两点，向量m= (2x1, y1), n = (2x2, y2)，且 m 丄 n.(1) 若直线I过曲线C的焦点F(0, c)(c为半焦距)，求直线I的斜率k的值；(2) AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.解(1)由题意知，|MF11+ |MF2|= 4|F1F2|= 2 3,根据椭圆的定义，知动点M的轨迹是以F1(0, ,3), F2(0 , .3)为焦点，长轴长为4的椭圆，2 2设该椭圆
4、的标准方程为 拿+存=1(ab0),则 a = 2, c= _3, a2 = 4, c2= 3, b2= a2 c2= 1,2曲线c的方程为y + x2= 1.4y= kx+/3设I的方程为y= kx+ 3 ,由y2,消去y得，4+x2= 1(k2 + 4)x2 + 2 3kx 1 = 0, = (2 3k)2+ 4(k2+ 4)0 ,2血 1 且 X1 + X2= 2, X1X2= 2.k + 4k + 4/ m n, ： m n= 0 ,1- 4X1X2 + y1y2= 4X1X2 + (kx1+ 3)(kx2 + , 3) = (4 + k2)x1X2 + . 3k(x1+ X2)+ 3
5、 = (k2 + 4) + . 3k + 42 3kk 二 + 3= 0,解得 k= 2.k + 4即直线l的斜率k的值为. 2.当直线AB的斜率不存在时，有 xi = X2, yi = y2. 由 m n= 0,得 4xi y2= 0，即 y2= 4x1.又A(xi, yi)在椭圆上,呼+ x?= 1,Xiu#，|yii= 2.1二 Smab = 2|xi| |yi y2|=|xi| |yi|= 1(定值).当直线AB的斜率存在时，设 AB的方程为y= k x+ t.|y= k x+1,由+宀i,消去y得,(k 2+ 4)x2+ 2k tx+ t2 4= 0,= 4k 2t2 4(k 2+
6、4)(t2 4)0 ,2k t且 Xi + X2=2,k 2 + 4t2 4XiX2=2k 2 + 4/ m n = 0,-4xix2 + yiy2= 0,4xix2 + (k Xi+1)(k X2 +1) = 0,(k 2+ 4)xiX2 + k t(xi + X2)+=0, (k2+ 4)t2 4整理得 2t2 k 2= 4.- Soab =12i|AB|= 2 M Xi + X2 2 4XiX2 =|t4k 2 4t2+ i6k 2+ 4掛=i(定值).综上， AOB的面积为定值.3.如图，已知抛物线M相切抛物线C的准线的距离为 亍.过抛物线C上一点H（X0, yo）（yo1）作两条直线
7、分别与o 于A、B两点，与抛物线 C交于E、F两点.（1）求抛物线C的方程；当/ AHB的角平分线垂直 x轴时，求直线 EF的斜率；若直线AB在y轴上的截距为t,求t的最小值.解（1）由题意知O M的圆心M的坐标为（4,0）,半径为1,抛物线C的准线方程为x=-2,/圆心M到抛物线C的准线的距离为174二4+2=乎，解得 p= 2,从而抛物线C的方程为y2= X./ AHB的角平分线垂直 x轴,点 H(4,2), / AHB = 60可得 kHA= .3 , kHB = .3,直线HA的方程为y= ,3x 4 3+ 2,y = V3x W3 + 2,联立方程2得V3y2y4寸3+ 2 = o,
8、ly = x,设 E(xe, yE) , F(xf, yF)，则 yE+ 2=呼，诵6二 yE=, Xe =V3 613+ 4 也1同理可得 yF =3, XF=3,二 kEF= 4.方法一由题意可设点 A、B的坐标分别为（X1 , y”、（X2 , y2）,y2X2 4y1则 k|MA =, k|MBX1 4/ HA、HB 是 O M 的切线， HA 丄 MA、HB 丄 MB ,4 X14 X2因此kHA=百,kHB=百所以直线 HA、HB 的方程分别为(4 xi)x yiy + 4xi 15 = 0, (4 X2)x y2y+ 4x2 15= 0,又点H在抛物线上，有y2= xo,点H的坐
9、标为(y2， yo)(yo 1)，分别代入直线 HA、HB的方程得(4 Xi)y0 yiyo+ 4xi 15=2(4 X2)yo y2yo+ 4x2 15= 0,可整理为(4 y2)x1 yoy1 + 4y0 15= 0, (4 yo)x2 yoy2+ 4y0 15= 0,从而可求得直线 AB的方程为(4 y0)x yoy+ 4y2 15= 0,24y0 1515令x= 0,得直线 AB在y轴上的截距为 t= = 4y0玄(yo1),15考虑到函数f(x) = 4x (x 1)为单调递增函数，xtmin = 4 X 1 = 11.方法二由(1)知，设点 H(y2，y)(y0 1),242242
10、则 HM = y0 7y+ 16, HA = y 7y+ 15.以H为圆心，HA为半径的圆的方程为(x y2)2 + (y y。)2 =y0 7y0+ 15,2 2又O M的方程为(x 4) + y = 1一得：直线 AB 的方程为(2x y0 4)(4 y0) (2y y)y0= y0 7y0+ 14.当x= 0时，直线AB在y轴上的截距t= 4y0 (y。1), y0/ t关于y的函数在1 ,+s)上单调递增，tmin = 11.以原点为圆心,2 24如图，已知椭圆C:x y2 + 2= 1(ab0)的离心率为 a b椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线 x+ y+ 2 = 0相切.A、B是椭
11、圆的 左、右顶点，直线I过B点且与x轴垂直.(1)求椭圆C的标准方程；设G是椭圆C上异于A、B的任意一点，作 GH丄x轴于点H，延长HG到点Q使得HG =GQ,连接AQ并延长交直线I于点M , N为线段MB的中点，判定直线 QN与以AB为直 径的圆0的位置关系，并证明你的结论.解(1)由题意可得e= c =严.a 2/以原点为圆心，椭圆 C的短半轴长为半径的圆与直线 x + y+ 2= 0相切,|0+ 0+ ,2|-= b,解得 b= 1.J2+ 12由 a2= b2 + c2,可得 a = 2.2椭圆C的标准方程为x + y2= 1.由(1)可知A( 2,0), B(2,0)，直线I的方程为
12、x= 2.设 G(x0, yo)(yoM 0)，于是 H(x,o), Q(xo,2yo),2且有 x0+ y0= 1,即卩 4y2= 4 x0.连接BQ，设直线AQ与直线BQ的斜率分别为kAQ, kBQ, kAQ kBQ =2yo 2yo4y24 -X2即AQ丄BQ ,点Q在以AB为直径的圆上.直线AQ的方程为y= 2y0(x+ 2).xo+ 2y = 3x+ 2 由X0+2x= 2,即 M(2, -8y), Xo+ 2, x = 2， 解得t8yoI y = ciXo+ 24yoN(2,-).Xo+ 2直线QN的斜率为2xoyo4yoxo2yokQN = 2y0xoXo+ 2kQN =2 xo一 2xoyo4 x2xo= 1于是直线 OQ与直线QN垂直,直线QN与以AB为直径的圆O相切.
