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1、第二章连续时间傅里叶变换1周期信号的频谱分析一一傅里叶级数FS(1)狄义赫利条件：在同一个周期T1内，间断点的个数有限；极大值和极小值的数目有限；信号绝f(t)dt对可积T1。(2)傅里叶级数：正交函数线性组合。正交函数集可以是三角函数集1，cosn 1t，sinn 1t:n明或复指数函数集ejnit：n Z，函数周期为12T1,角频率为T1。(3)任何满足狄义赫利条件周期函数都可展成傅里叶级数。(4)三角形式的FS:f (t)a0(an con 1tbnsin n 1t)(i)展开式：n 1(ii)系数计算公式：1aof(t)dt(a)直流分量：T1 T12an 一 f (t) cosn 1
2、tdt, n(b) n次谐波余弦分量：T1 T1(c) n次谐波的正弦分量:bn T2T1f (t)sin n 1tdt,n NT1(iii) 系数an和bn统称为三角形式的傅里叶级数系数，简称傅里叶系数。(iv) 称f1 1/T1为信号的基波、基频；叫为信号的n次谐波。(v) 合并同频率的正余弦项得：(a)f (t) c0cncos(n 1tn 1(vi)(a)(b)(c)(d)(e)(f)f (t) d0dn sin(n 1tn)(b)n 1n和n分别对应合并后n次谐波的余弦项和正弦项的初相位。傅里叶系数之间的关系：a0c0d0ancncos ndn sin nbncn sin n dnc
3、osnc0d0a0c2d2 a2 b2bnn arctg ann arctg 普(g)bn复指数形式的FS：f(t)Fnejn 1t(i) 展开式：nFn 11T f (t)e jn 1t dt,n Z(ii) 系数计算：T1 T1(iii) 系数之间的关系：ao,n 0Fn 1 一02 (an jb n), n 0Fn F n, F n FnFn|Fn|-2|cn| -2| dn|2 a anbn ,(n0)Fn|Fn|Cn| | dn , (n 。)Fn F n anFn F n bn/j22222C2 dn a2 b2 4FnF n 4Fn(n 0)(iv) Fn关于n是共扼对称的，即它
4、们关于原点互为共轲。(6)(v) 正负n (n非零)处的Fn的幅度和等于cn或dn的幅度。 奇偶信号的FS:(i)偶信号的FS:an2 f (t) cosnTi Ti1tdth 2bnFT1f (t)sin n 1tdtTicndnanFnan jbn an2 万(Fn 实,偶对称)；(ii)(iii)偶的周期信号的奇信号的FS:a0 an0bnFn F n12 jbnFS系数只有直流项和余弦项。Tlf (t)sin n 1tdtTicn d nbn2jFn(iv)奇的周期信号的(Fn纯虚，奇对称)； FS系数只有正弦项。周期信号的傅里叶频谱:(i)(ii)FnFn为信号的傅里叶复数频谱，简称
5、傅里叶级数谱或为信号的傅里叶复数幅度频谱，简称FS幅度谱。FS谱。(iii)称n为傅里叶复数相位频谱，简称FS相位谱。(iv)周期信号的FS频谱仅在一些离散点角频率n 1(或频率nfl)上有值。(v)FS也被称为傅里叶离散谱，离散间隔为 1 2 /T1。(vi)FS谱、FS幅度谱和相位谱图中表示相应频谱、频谱幅度和频谱相位的离散线段被称为谱线、幅度谱线和相位谱线，分别表示FS频谱的值、幅度和相位(vii)连接谱线顶点的虚曲线称为包络线，反映了各谐波处FS频谱、幅度谱和相位谱随分量的变化情况。(viii)称cn为单边谱，表示了信号在谐波处的实际分量大小。(ix)称Fn为双边谱，其负频率项在实际中
6、是不存在的。正负频率的频谱幅度相加，才是实际幅 度。(8)周期矩形脉冲序列的 FS谱的特点：(i)谱线包络线为Sa函数；2(ii)谱线包络线过零点：(其中1 T1为谱线间隔)：匚 k2kk n 1T1或 n 1kZ,k 0即当n 1 2k /时 ancnFn0 o(iii)在频域，能量集中在向一个过零点之内。(iv)带宽 2 /或f3只与矩形脉冲的脉宽有关，而与脉高和周期均无关。(定义02 /为周期矩形脉冲信号的频带宽度，简称带宽)P f(t)Fn(9)周期信号的功率:2 f 2(t)dt Fn (10)帕斯瓦尔方程：T1 T1n2非周期信号的频谱分析一傅里叶变换(FT)(1)信号f (t)的
7、傅里叶变换：F( ) f(t)e j tdt F f (t)是信号f的频谱密度函数或 FT频谱，简称为频谱(函数)。(2)(4)(6)f(t) F( )ej td ?F 1 F() 2的变换核函数。FT或IFT相等，则这两个函数必然相等。F 1 F( ) f (t)频谱密度函数F()的逆傅里叶变换为：称e j t为FT的变换核函数，ej t为IFTFT与IFT具有唯一性。如果两个函数的FT具有可逆性。如果 F f(t) F(),则必有F ( )();反之亦然。F( ) F( )ej ( )信号的傅里叶变换一般为复值函数，可写成(i)称F( )为幅度频谱密度函数，简称幅度谱，表示信号的幅度密度随
8、频率变化的幅频特性;(ii)称()Arg F( )为相位频谱密度函数，简称相位谱函数，表示信号的相位随频率变化 的相频特性。(7) FT频谱可分解为实部和虚部：F( ) Fr( ) jFi( )F( ) . Fr2( ) Fi2( ),( ) arctan互(Fr()Fr( ) F( )cos ( ),Fi( ) F( )sin ()(8) FT存在的充分条件：时域信号f(t)绝对可积，即f(t)dtO注意：这不必要条件。有一些并非绝对可积的信号也有FT。(9) FT及IFT在赫兹域的定义:F(f) f(t)ej2ftdt f (t)F(f )ej2 ftdf(10)比较FS和FT:FSFT分
9、析对象周期信号非周期信号频率定义域离散频率，谐波频率处连续频率，整个频率轴函数值意义频率分量的数值频率分量的密度值3典型非周期信号的FT频谱一 . at . 一.(1)单边指数彳t号：f(t) e u(t) (a 0)F( ) f (t)e j tdt e ate j tdt e (a j )tdt 00a jF()幅度谱：aa j() Arg F ( ) Arg -22 arctg 一相位谱：aa单边指数信号及其幅度谱、相位谱如图1所示。.,、a|t ,(2)偶双边指数信号：f(t) e (a 0)F()f(t)ej tdt0 , eate jtdt0e(j )tdte(a)tdte ate
10、 01a jtdt2a22,为实偶函数。幅度谱:相位谱:F()2a”20偶双边指数信号及其频谱如图2所示。频谱(3)矩形脉冲信号:f(t)EG图2 (a)偶双边指数信号 (脉宽为、脉高为(b)E)F()f(t)etdt/2 i tEe j tdt/2/2Ecos/2tdtE sin t/2/2Sa 2 ,为实函数。幅度谱：F()Sa20,4k2(2k 1)(对应5()2(2k 1)4(k 1)相位谱：矩形脉冲信号及其频谱如图 3所示。(对应F()0)k Z0)(a)(b)图3 (a)矩形脉冲信号(b)频谱矩形脉冲FT的特点：(i) FT为Sa函数，原点处函数值等于矩形脉冲的面积；(ii) FT
11、的过零点位置为2k / (k 0)；2 / ,2 /之内有关，与脉高E无关。(iii)频域的能量集中在第一个过零点区间(iv)带宽为B 2 /或Bf 1/ ,只与脉宽信号等效脉宽： F(0)/f()图4 (a)信号的等效脉宽(b)等效带宽(4)符号函数：不满足绝对可积条件，但存在FT。F()Sgn(t)e j tdt幅度谱:F()相位谱: 符号/2,0()/2,0图5 (a)符号函数(b)频谱冲激信号：F E (t) E (t)e j tdt Ee j 0 E均匀谱/白色谱：频谱在任何频率处的密度都是均匀的。强度为E的冲激函数的频谱是均匀谱，密度就是冲激的强度。F1E() 2E单位冲激信号及直
12、流信号的频谱函数总结:FT定义FE (t) EFT可逆性F 1E E()FE 2 E ()FT可逆性F1E(鹿IFT定义(6)阶跃信号：不满足绝对可积条件，但存在FT1F()()j在 0处有一个冲激，该冲激来自u中的直流分量。单位阶跃信号及其幅度谱如图6所示。4 FT的性质(2)F线性性： 线性性包括: 奇偶虚实性:偶奇 实偶 实奇(4)an fn(t) n齐次性FanF fn(t) naf(t) aF f(t).叠加性 F fi(t)f2(t) F fi(t)F f2(t)。偶奇实偶(FT可变为余弦变换)虚奇(FT可变为正弦变换)实信号的FT:(实信号可分解为：实偶 实部是偶函数，虚部是奇函
13、数：实* ，、偶共扼对称：F( ) F ( )幅度谱为偶函数，相位谱为奇函数:虚信号的FT具有奇共扼对称性：F (+实奇)实偶+j实奇偶共轲对称或奇共轲对称的函数满足幅度对称:实偶EXP(实奇)F( ) 口 )。时域频域原信号f(t)F()反褶f(- t)F(-)共扼f *(t)F *(-)反褶+共扼f *(- t)f*()*实信号或虚信号的 FT幅度谱偶对称，幅度谱函数是偶函数。 反褶和共轲性：e j tej t . ej t对偶性:*傅里叶正逆变换的变换核函数是共轲对称的:11F 1 F( ) f(t) 2F g( ) g( )e j tdit 1*F( )e d2-F F()表不按自变量进行傅里叶变换，结果是 t的函数。IFT可以通过 FT来实现。FT的对偶特性:FF(t)若f为偶函数，则 若f(t)为奇函数，则2 f()F F(t)F F(t)2 f(2 f()。Ff(at
