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1、抽象函数问题有关解法由于函数概念比较抽象,学生对解有关函数记号的问题感到困难,学好这部分知识,能加深学生对函数概念的理解,更好地掌握函数的性质,培养灵活性;提高解题能力,优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下:一、求表达式:1.换元法:即用中间变量表示原自变量的代数式,从而求出,这也是证某些公式或等式常用的方法,此法解培养学生的灵活性及变形能力。例1:已知 ,求.解:设,则2.凑配法:在已知的条件下,把拼凑成以表示的代数式,再利用代换即可求.此解法简洁,还能进一步复习代换法。 例2:已知,求解:又,(|1)3.待定系数法:先确定函数类型,设定函数关系式,再由已知条件,定出关系式中的未
2、知系数。例3 已知二次实函数,且+2+4,求.解:设=,则=比较系数得4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.例4.已知=为奇函数,当 0时,求解:为奇函数,的定义域关于原点对称,故先求0,为奇函数,当0时例5一已知为偶函数,为奇函数,且有+, 求,.解:为偶函数,为奇函数,,不妨用-代换+= 中的,即显见+即可消去,求出函数再代入求出二、利用函数性质,解的有关问题1.判断函数的奇偶性:例7 已知,对一切实数、都成立,且,求证为偶函数。证明:令=0, 则已知等式变为在中令=0则2=2 0=1为偶函数。2.确定参数的取值范围例8:奇函数在定义域(-1,1)内递减,求满足的实
3、数的取值范围。解:由得,为函数,又在(-1,1)内递减,3.解不定式的有关题目 例9:如果=对任意的有,比较的大小解:对任意有=2为抛物线=的对称轴又其开口向上(2)最小,(1)=(3)在2,)上,为增函数(3)(4),(2)(1)(4)五类抽象函数解法1、线性函数型抽象函数线性函数型抽象函数,是由线性函数抽象而得的函数。例1、已知函数f(x)对任意实数x,y,均有f(xy)f(x)f(y),且当x0时,f(x)0,f(1)2,求f(x)在区间2,1上的值域。分析:由题设可知,函数f(x)是的抽象函数,因此求函数f(x)的值域,关键在于研究它的单调性。解:设,当,即,f(x)为增函数。在条件中
4、,令yx,则,再令xy0,则f(0)2 f(0), f(0)0,故f(x)f(x),f(x)为奇函数,f(1)f(1)2,又f(2)2 f(1)4, f(x)的值域为4,2。例2、已知函数f(x)对任意,满足条件f(x)f(y)2 + f(xy),且当x0时,f(x)2,f(3)5,求不等式的解。 分析:由题设条件可猜测:f(x)是yx2的抽象函数,且f(x)为单调增函数,如果这一猜想正确,也就可以脱去不等式中的函数符号,从而可求得不等式的解。 解:设,当,则, 即,f(x)为单调增函数。 , 又f(3)5,f(1)3。, 即,解得不等式的解为1 a 0时,0f(x)1。(1)判断f(x)的单调性;(2)设,若,试确定a的取值范围。解:(1)在中,令,得,因为,所以。在中,令因为当时,所以当时而所以又当x=0时,所以,综上可知,对于任意,均有。设,则所以所以在R上为减函数。(2)由于函数y=f(x